弹塑性力学-第3章(应变分析).pdf

弹塑性力学 许 强 同济大学土木工程学院 第3章 应变分析 本章教学内容 §3.1 引 言 §3.2 一点的应变状态 §3.3 应变张量的进一步解释 §3.4 微元体的刚体转动 §3.5 主应变 §3.6 八面体应变 §3.7 体积应变 §3.8 微小球体的变形 §3.9 应变协调方程 §3.10 球应变张量和偏应变张量 §3.11 应力应变分析的相似性与差异性 第3章 应变分析 教学要求 （1）深入理解位移、应变和应变状态的概念。 （2）掌握柯西几何方程的应用和其物理意义。 （3）理解应变谐调方程（相容方程）的物理意义。 （4）了解应变状态和应力状态，及其两者在数学上的相似性与差异性。 第3章 应变分析 3.1 引言 本章将纯粹从几何学的角度来分析物体的位移和变形，而不具体讨论引起物体产生位移和变形的原因。 内容有：讨论如何刻画受力物体内任一点处的变形状态，并用应变张量来描述物体的形变；分析微元 体的刚体转动；讨论应变分量必须满足的“协调条件”。本章是在小变形假设下进行推理，故所得结 论仅适合于小变形连续介质力学问题。 连续体内任意两点的相对位置改变时，此物体被称为有变形或有应变。如果物体运动时，其体内任 意两点之间距离不变，则物体作刚体运动。刚体运动包括平移和转动，因此平移和转动被称为刚体 位移。应变分析涉及连续体变形的研究，这是几何问题而其与物体材料性质无关。因而不论是弹性 或是塑性变形的物体，对点的应变的描述都是同样的。 考虑连续体内的两点A和B ，两点间距为l 。使物体承受某些力而使之占据新的变形位置（右图中虚 0 线所示），AB移动至A ′B′。A点移动的距离AA ′称为A 的位移。如果A ′B′与AB平行且相等，则此移动 属平移；如果A ′B′与AB不平行，则此移动兼有转动和平移。 如果间距l 和l0不等，则B与A之间有相对位移，即物体已有变 形。若l0 取得足够小，则变形可认为沿AB方向是均匀的，相 对位移（l-l ）可认为与l 成正比。长度变化对原长度之比定 0 0 义为正应变或线应变，即 AB 的线应变 (l l ) / l (3.1) 0 0 第3章 应变分析 然而，应变存有两种类型：由于长度变化产生的正应变和与不同于任何材料纤维的伸长或缩短的畸变 相关的剪应变 。 如右图示，在物体的原始位置上，通过A点画两条成夹角θ 的 0 直线AB和AC 。物体承受作用力以后，如θ0与θ不等，则可谓 剪应变已经产生，角度变化（θ－θ0 ）即为畸变或剪应变的度 量。 正如应力分析的那样，在此，如果所考虑邻近A点的材料足够 小，那么围绕A点的变形可取为均匀分布，这就引出了点应变 的概念。 z A A u 点的位移： r u(x、y 、z) = r R x x R v(x、y 、z) = ry Ry w(x、y 、z) = r R