弹塑性力学2课件1.ppt

平面应变 物体是一柱体，轴向方向很长 所有外力都平行于横截面作用，且沿轴线大小不变 平面应变特点 （1）位移 u=u(x,y) v=v(x,y) w = 0 （2）应变 平面内， ?x、?y、?xy ?0，均为x、y的函数； 平面外，?z=?xz=?yz =0； （3）应力 ?z=?(?x+?y) 平面应变的物理方程 导出 其中 平面应力 沿z方向的厚度t均匀且很小 所有外力均作用在板的周边和板内，平行于板面作用。 平面应力特点 （2）应变 （3）应力 在z = 的面上各点没有任何与z向有关的应力 ?z=?zx =?zy =0 在面内： ?x、?y、?xy ?0 ?xz=?yz=0 （1）位移 u=u(x,y) v=v(x,y) w ?0 平面问题平衡微分方程 将 ?z = ?zx = ?zy =0（平面应力） ?z=?z (x,y)，?zx =?zy =0（平面应变） 代入空间问题的平衡方程式，得 平面问题几何方程 根据问题的对称性，位移应只是z的函数 w=w(z) 体积应变是 代入拉梅-纳维方程 应力是 ?x=?y= ? ?g(z+A) ?z= ??g(z+A) ?xy=?yz=?zx=0 应用边界条件求待定常数 L=m=0, n=-1 -?z?z=0=q 边界条件是： A=q/?g 解得： B代表刚度位移，应由位移边界条件确定 极坐标解平面问题 必要性： 对于特殊几何形状和受力分布，使求解简单 特点： 方程形式将改变，但物理本质应不变 方法： 通过张量分量的坐标变换； 使用物理定律，直接推导； 曲线坐标特点： 局部坐标，基矢量每点变化 尺度因子不为1  平衡微分方程 径向平衡 环向平衡 平衡微分方程 仅产生径向位移 应变位移关系（几何方程） 各点的位移为 各点的坐标为： 仅产生环向位移 各点的位移为 各点的坐标为： 得到几何方程 物理方程形式不变，为什么 ?2?2?＝0 变形协调方程用应力函数表示 应力分量为 例6-5：如图所示，楔形体两边受均匀分布的切向荷载作用，求其中的应力分布。 解：（1）根据因次分析选择?并求解 ? = ?(?, q, r, ?) ? = r2f(?) 代入协调方程 通解是： f(?)=Asin2?+Bcos2?＋C?+D = ?2Asin2? ? 2Bcos2?＋2C?+2D ＝2(Asin2?+Bcos2?＋C?+D) = ? 2Acos2? + 2Bsin2?? C 根据力边界条件求出常数A、B、C、D (??)?=? ? = 0 ， (?r?) ?=?=q ，(?r?) ?=??= ?q A=0， C=0， 例6-6：圆筒内半径为a，外半径为b，内壁作用均匀压力为qa，外壁作用均布压力qb，求应力分布。 解：这是一个轴对称问题。当弹性体的几何形状和外荷载为轴对称时，应力与应变也都应是轴对称的，它们仅是r的函数，而与?无关。 应力函数： ? = ?(r) ??r=?r?=0 协调方程简化为 协调方程的通解是： ?=Alnr + Br2lnr + Cr2 + D 力边界条件： (?r)r=a = ?qa (?r)r=b = ?qb (?r?)r=a = 0 (?r?)r=b = 0 前面两个边界条件可求出A、C，后两个条件自然满足。 使用位移单值条件求常数B 例6-7：半无限体上受集中力作用，该集中力与水平方向夹角为?，求应力分量。 解：应用因次分析方法来设应力函数。 应力分量的因次是[力]/长度]-2， 集中力的因次是[力]/[长度]-1（对空间而言，它是沿厚度方向分布的力），而?是无因次的，因此应力分量的表达式应取下面的形式 ???=???(P, r, ?)= f(?) ? = rf(?) f(?)=Acos?+B