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第四章应力和应变关系

一.内容介绍

前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形

协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系

的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，

有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度

下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理

方程或者本构关系。

对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通

过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹

性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。

本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。

二.重点

1.应变能函数和格林公式；

2.广义胡克定律的一般表达式；

3.具有一个和两个弹性对称面的本构关系；

4.各向同性材料的本构关系；

3.材料的弹性常数。

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§4.1弹性体的应变能原理

弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体

内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求

解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。

本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数

表达的材料本构方程。

根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，

即应变能函数。

探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本

构关系。

如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量

的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应

变能函数。

学习要点：

1.应变能；

2.格林公式；

3.应变能原理。

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1.应变能

弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。本节

通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。

根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一

部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界

吸收或释放热量。设弹性体变形时，外力所做的功为dW，则

dW=dW+dW

12

其中，dW为表面力Fs所做的功，dW为体积力F所做的功。变形过程中，由

12b

外界输入热量为dQ，弹性体的内能增量为dE，根据热力学第一定律,

dW+dW=dE-dQ

12

因为

将上式代入功能关系公式，则

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2.格林公式

如果