《弹塑性力学》第四章应力应变关系(本构方程).pptx

2025/5/101§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系第四章应力应变关系（本构方程）§4-2线弹性体的本构关系§4-3各向同性材料弹性常数

本章讨论弹性力学的第三个基本规律。应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。?ji,j+fi=0?ij=(ui,j+uj,i)/2第四章应力应变关系（本构方程）

共9个方程，但需确定的未知函数共15个：ui，?ij=?ji，?ij=?ji，01?ij=?ji=fij(?kl)02第四章应力应变关系（本构方程）03还需要根据材料的物理性质来建立应力与应变间的关系：04

本构关系2025/5/1044-1应变能、应变能密度与弹性材料的1.1应变能U和应变能密度W（比能）如果弹性体的外力的施加是缓慢进行的，物体无动能，物体发生变形，产生变形能，也无热能耗散，则根据能量守恒，外力实功转化成应变能贮存在弹性体中。

本构关系2025/5/105BAC4-1应变能、应变能密度与弹性材料的W：应变能密度——单位体积的应变能。外力做实功A：A=U物体的应变能U

本构关系2025/5/106§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的1.2应变能密度W与材料的本构关系当外载，缓慢施加过程中，考察外力施加过程中，瞬时外力功增量变化。x2x1x3oFf

4-1应变能、应变能密度与弹性材料的产生本构关系在某一时刻t：应变能密度W的表达式？

§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系时刻达到t+?t：位移有增量应变增量外力功增量：

4-1应变能、应变能密度与弹性材料的?：函数增量本构关系应变能增量?A中有体积分和面积分，利用柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。

4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系01代入外力功增量02

4-1应变能、应变能密度与弹性材料的——W为?ij的函数。01本构关系02

4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最终应变状态，与变形过程（加载路线）无关，所以?W为它的全微分

4-1应变能、应变能密度与弹性材料的1——本构关系（方程）2本构关系3比较上面二式，得：适用于各种弹性情况（线性、非线性）

4-1应变能、应变能密度与弹性材料的由积分得——应变能密度定义式。本构关§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系应变能密度定义式一些书上写为?ij?ij?ijd?ijdWW?ij

4-2线弹性体的本构关系2025/5/10162.1各向异性材料在线弹性体应力与应变为线性关系，材料均匀和小变形情况,以及当?ij=0时?ij=0。用指标符号表示：?ij=Eijkl?klEijkl共有81个元素（四阶张量常数）。由于?ij=?ji，?kl=?lk

4-2线弹性体的本构关系2025/5/10171{?}=[c]{?}2Eijkl减少为6?6=36个独立系数，用矩阵表示本构关系32.1各向异性材料

4-2线弹性体的本构关系2025/5/101801{?}=[c]{?}022.1各向异性材料

4-2线弹性体的本构关系2025/5/1019根据，得2.1各向异性材料则[C]为对称矩阵[C]=[C]T。

4-2线弹性体的本构关系2025/5/10202.1各向异性材料对各向异性材料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也产生剪应力。弹性材料性质一般都具有某些对称性，利用对称可进一步简化[C]中系数。Eijkl的独立系数为21个——材料为各向异性线弹性材料。

§4-2线弹性体的本构关系2025/5/10212.2具有一个弹性对称面的材料x2x1x3弹性主轴若物体内各点都有这样一个平面，对此平面对称方向其弹性性质相同，则称此平面为弹性对称面，垂直弹性对称面的方向称为弹性主轴。

§4-2线弹性体的本构关系2025/5/1022如取弹性对称面为x1—x2面，x3为弹性主轴或材料主轴，并取另一坐标系x’i，且x’1=x1，x’2=x2，x’3=-x3。在两个坐标下，弹性关系保持不变，则[C]中元素减