2019届高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.3 空间图形的基本关系与公理学案 理 北师大版.doc

§8.3　空间图形的基本关系与公理 最新考纲 考情考向分析 1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2.了解可以作为推理依据的公理和定理． 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力. 1．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识拓展 1．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 2．异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　√　) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　×　) (3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　×　) (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(　√　) (5)没有公共点的两条直线是异面直线．(　×　) (6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a(α，b(β，则a，b是异面直线．(　×　) 题组二　教材改编 2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　C 解析　连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°. 3.如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形； (2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形． 答案　(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD 解析　(1)∵四边形EFGH为菱形， ∴EF＝EH，故AC＝BD. (2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF綊AC，EH綊BD，∴AC＝BD且AC⊥BD. 题组三　易错自纠 4．(2017·湖南省湘中名校联考)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α 答案　C 解析　A中，m，n可能的位置关系为平行、相交、异面，故A错误；B中，m与n也有可能平行，B错误；C中，根据线面平行的性质可知C正确；D中，若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C. 5．(2017·湖北七市联考)设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是(　　) A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直 B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直 C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行 D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直 答案　B 解析　对于A，在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直，过交点与直线m垂直的直线只有一条，在平面内与此直线平行的直线都与m垂直，不正确；对于B，过直线m有且只有一个平面与平面α垂直，在直线m上取一点作平面α的垂线，两条直线确定一个平面与平面α垂直，正确；对于C，与直线m垂直的直线不可能与平面α平行，不正确；对于D，与直线m平行的平面不可能与平面α垂直，不正确． 6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______． 答案　3 解