导数中构造函数(最全精编).pdf
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QQ群高中数学解题研究会339444963 程磊老师导数专题讲座
导数小题中构造函数的技巧
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想,
而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现,尤其是在导数题型中,下
面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。
(一)利用f (x)进行抽象函数构造
f (x) u
1、利用f (x)与 构造;常用构造形式有xf (x), ;这类形式是对uv, 型函
x
x v
u
数导数计算的推广及应用,我们对uv, 的导函数观察可得知, 型导函数中
uv
v
u
体现的是 “ ”法, 型导函数中体现的是 “ ”法,由此,我们可以猜测,当
v
uv
导函数形式出现的是 “ ”法形式时,优先考虑构造 型,当导函数形式出现
u
的是 “-”法形式时,优先考虑构造 ,我们根据得出的“优先”原则,看一看
v
例1,例2.
f (x) R x 0 f (x)xf (x) 0
【例 1】 是定义在 上的偶函数,当 时, ,且
f (4) 0,则不等式xf (x) 0的解集为____________
❀❀❀思路点拨:出现“ ”形式,优先构造F(x) xf (x) ,然后利用函数的单调性、
奇偶性和数形结合求解即可.
【解析】构造F(x) xf (x) ,则F (x) f (x)xf (x),当x 0时,f (x)xf (x) 0 ,
可以推出 ,F (x) 0 , 在 上单调递减.∵ 为偶函数, 为奇函
x 0 F(x) (,0) f (x) x
数,所以 为奇函数,∴ 在 上也单调递减.根据 可得
F(x) F(x) (0,) f (4) 0
F(4) 0 ,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知xf (x) 0的解
集为(,4)(0,4).
f (x) R f (1) 0 x 0
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