7.5直线平面垂直的判定和性质.ppt

直线与平面垂直的判定和性质 2．两个平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理 3．线面角和二面角 (1)线面角：平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 直线与平面所成角θ的范围是[0°，90°]． θ＝0°时，直线在平面内或与平面平行． θ＝90°时，直线与平面垂直． (2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内以O为垂足作棱的垂线OA与OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的取值范围是[0°，180°)， θ＝0°时两个半平面共面；0°θ90°时为锐二面角；θ＝90°时为直二面角；90°θ180°时为钝二面角． 1．△ABC所在平面外一点P在平面ABC内射影为O， (1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC外心 (2)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC内心或旁心 (3)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心 2．∠ACB所在平面外一点P在平面ACB内射影为O (1)若∠PCA＝∠PCB，则O在∠BCA的平分线上 (2)若P到∠BCA两边距离相等，则O在∠BCA的平分线上 平面与平面垂直的判定与性质 1.已知直线a,b和平面α,β,且a⊥α,b⊥β,那么α⊥β是a⊥b的?(　????) 考点二 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若α⊥β,由a⊥α容易推出a?β或a∥β,而b⊥β,于是a⊥b; 若a⊥b,则容易推出α⊥β, 故α⊥β是a⊥b的充分必要条件. 答案:C 2.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°, BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在（ ） A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 解析:由AC⊥AB,AC⊥BC1, 得AC⊥平面ABC1,AC?平面ABC, ∴平面ABC1 ⊥平面ABC, C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上. 3.(2011·浙江高考)下列命题中错误的是?(　????) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析:A项正确,只需α内的直线平行于α与β的交线即平行于β;B项正确,根据面面垂直的判定定理,若α内存在直线垂直于β,则α⊥β;C项正确,设α内a⊥γ,β内b⊥γ,α∩β=l,则a∥b,所以a∥β,根据线面平行的性质定理,所以a∥l,所以l⊥γ; D项错误,平面α内可以存在直线平行于交线而不垂直于平面β. 4.如图所示,已知空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,E是AB的中点. (1)求证:AB⊥平面CDE; (2)求证:平面CDE⊥平面ABC; (3)若G为△ADC的重心,试在线段AE上确定一点F,使得GF∥平面CDE. 解:(1)证明:? ?CE⊥AB 同理,? ?DE⊥AB 又∵CE∩DE=E ∴AB⊥平面CDE. (2)证明:由(1)有AB⊥平面CDE 又∵AB?平面ABC, ∴平面CDE⊥平面ABC. (3)连接AG并延长交CD于H,连接EH,则? =?, 在AE上取点F使得?=?,则GF∥EH,易知GF∥平面CDE. 1.证明面面垂直的主要方法是: (1)利用判定定理.在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线,充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边、勾股定理等结论. (2)用定义证明.只需判定两平面所成二面角为直二面角. (3)客观题中,也可应用:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一 个也垂直于第三个平面. 2.关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆. ? 立体几何中的探索性问题 1.(2012·江苏无锡模拟)设a,b,c是空间不重合的三条直线,α,β是空间两个不同的平面,则下列命题中,逆命题不成立的是?(　????) 考点三 A.当c⊥α时,若c⊥β,则α∥β B.当b?α时,若b⊥β,则α⊥β C.当b?α,且c是a在α内的射影时,若b⊥c,则a⊥b D.当b?α,且c?α时,若c∥α,则b∥c 解析:当α⊥β时,平面α内的直线不一定垂直于平面β. 答案:B 2.(密码原创)如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①a=?;②a=1;③a=?;④a=4,当BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时, 可以取　　　?