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同步练习(直线和平面垂直的判定和性质).doc

发布:2017-08-21约字共2页下载文档
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相关练习 例1.在空间四边形PABC中,PA⊥平面BAC,AC⊥BC,若A在PB、PC上的射影分别是E、F,求证:EF⊥PB. 证明:∵PA⊥平面ABC ∴PA⊥BC 又∵AC⊥BC,PA∩AC=A, ∴BC⊥平面PAC,而AF面PAC. ∴BC⊥AF 又∵F是点A在PC的射影. ∴AF⊥PC, ∴AE在平面PBC的射影为EF. 又∵E为A在PB的射影.∴AE⊥PB 由三垂线逆定理知EF⊥PB. 例2.空间四边形ABCD中,若AB⊥CD,BC⊥AD,求证:AC⊥BD. 证明:如图,作AO⊥平面BCD于O,则BO为AB在平面BCD内的射影. ∵AB⊥CD ∴BO⊥CD 同理DO⊥BD,所以O为△BCD的垂心,连结CO,∴CO⊥BD ∵CO为AC在平面BCD内的射影,AC⊥BD. 例3.如图,在△ABC中,B=90°,SA⊥平面ABC,AN⊥SB,AM⊥SC.求证:SC⊥平面AMN. 证明:∵SA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴SA⊥BC 又∵BC⊥AB,AB、SA. 又∵AN平面SAB,∴BC⊥AN. ∵AN⊥SB,SB、BC确定平面SBC ∴AN⊥平面SBC. 又SC 平面SBC,∴AN⊥SC. 又∵AM⊥SC,AM、AN确定平面AMN,∴SC⊥平面AMN. 例4.如图,H是锐角△ABC的垂心,PH⊥平面ABC,若∠BPC=90°,求证: ∠BPA=90°,∠APC=90°. 证明:连结BH并延长交AC于点E. ∵H是△ABC的垂心,. 又∵PH⊥面ABC 由三垂线定理知PB⊥AC 又PB⊥PC,PC∩AC=C,PB⊥平面APC 又∵PA平面APC,∴PB⊥PA 即 ∠BPA=90°. 同理 ∠APC=90°.
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