同步练习(直线和平面垂直的判定和性质).doc
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例1.在空间四边形PABC中,PA⊥平面BAC,AC⊥BC,若A在PB、PC上的射影分别是E、F,求证:EF⊥PB.
证明:∵PA⊥平面ABC
∴PA⊥BC
又∵AC⊥BC,PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC,而AF面PAC.
∴BC⊥AF
又∵F是点A在PC的射影.
∴AF⊥PC,
∴AE在平面PBC的射影为EF.
又∵E为A在PB的射影.∴AE⊥PB
由三垂线逆定理知EF⊥PB.
例2.空间四边形ABCD中,若AB⊥CD,BC⊥AD,求证:AC⊥BD.
证明:如图,作AO⊥平面BCD于O,则BO为AB在平面BCD内的射影.
∵AB⊥CD
∴BO⊥CD
同理DO⊥BD,所以O为△BCD的垂心,连结CO,∴CO⊥BD
∵CO为AC在平面BCD内的射影,AC⊥BD.
例3.如图,在△ABC中,B=90°,SA⊥平面ABC,AN⊥SB,AM⊥SC.求证:SC⊥平面AMN.
证明:∵SA⊥平面ABC,BC平面ABC,∴SA⊥BC
又∵BC⊥AB,AB、SA.
又∵AN平面SAB,∴BC⊥AN.
∵AN⊥SB,SB、BC确定平面SBC
∴AN⊥平面SBC.
又SC 平面SBC,∴AN⊥SC.
又∵AM⊥SC,AM、AN确定平面AMN,∴SC⊥平面AMN.
例4.如图,H是锐角△ABC的垂心,PH⊥平面ABC,若∠BPC=90°,求证:
∠BPA=90°,∠APC=90°.
证明:连结BH并延长交AC于点E.
∵H是△ABC的垂心,.
又∵PH⊥面ABC
由三垂线定理知PB⊥AC
又PB⊥PC,PC∩AC=C,PB⊥平面APC
又∵PA平面APC,∴PB⊥PA
即 ∠BPA=90°.
同理 ∠APC=90°.
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