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直线与平面垂直的判定与性质

(1)(2019·湖南益阳模拟)如图所示，在四棱锥

P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝2BC，∠DAB

＝∠ABP＝90°.

①求证：AD⊥平面PAB；

②求证：AB⊥PC．

证明：①因为∠DAB＝90°，所以AD⊥AB．

因为平面PAB⊥平面ABCD，

且平面PAB∩平面ABCD＝AB，

所以AD⊥平面PAB．

②由①知AD⊥AB，

因为AD∥BC，所以BC⊥AB．

又因为∠ABP＝90°，所以PB⊥AB．

因为PB∩BC＝B，所以AB⊥平面PBC，

因为PC平面PBC，所以AB⊥PC．

(2)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，

AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

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证明：①CD⊥AE；

②PD⊥平面ABE.

证明：①在四棱锥P-ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，

CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD．

又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，

AC⊂平面PAC，

．

∴CD⊥平面PAC而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

②由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．

由①知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE

⊥平面PCD，

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．

∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．

又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，

．

∴AB⊥PD又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，

∴PD⊥平面ABE.

【结论探究】在本典例(1)中，若点E在棱PD上，且CE∥平

PE

面PAB，求的值．

PD

解：过E作EF∥AD交PA于F，连接BF.

因为AD∥BC，所以EF∥BC．

所以E，F，B，C四点共面．

又因为CE∥平面PAB，

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且CE⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面PAB＝BF，所以CE∥BF，

1

所以四边形BCEF为平行四边形，所以EF＝BC＝AD．

2

在△PAD中，因为EF∥AD，

PEEF1PE1

所以＝＝，即＝.

PDAD2PD2

证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平

面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a

⊥β)；④面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借

助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线

面垂直的基本思想．

(2019·广东茂名模拟)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PC

⊥BC，M为PB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形．

(1)求证：BC⊥平面PAC；

(2)若PA＝2BC，三棱锥P-ABC的体积为1，求点B到平面DCM

的距离．

解：(1)证明：在正三角形AMB中，D是AB的中点，

所以MD⊥AB．

因为M是PB的中点，D是AB的中点，