9.2正弦定理与余弦定理的应用 课件 高一年级下册学期数学人教B版（2025）必修第四册（47张PPT）（含音频+视频）.ppt

【定向训练】1.如图,在山脚A测得山顶P的仰角为30°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B,在B处测得山顶P的仰角为60°,则山高PQ= ()A.a米 B.米 C.a米 D.a米【解题指南】设∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,∠CBP=γ=60°,在△PAB中,∠PAB=α-β=15°,∠BPA==γ-α=30°,由正弦定理可求PB,根据PQ=PC+CQ=PB·sinγ+asinβ可得结果.【解析】选C.设∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,∠CBP=γ=60°,在△PAB中,∠PAB=α-β=15°,∠BPA==γ-α=30°,由正弦定理得,所以PB=a.所以PQ=PC+CQ=PB·sinγ+asinβ=a×sin60°+asin15°=a(米).2.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度向正东方向匀速行驶,经过t小时小艇与轮船相遇.假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的时间与轮船相遇,并说明理由.9.2正弦定理与余弦定理的应用核心互动探究探究点一测量不可到达的两点之间的距离【典例1】1.如图,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为________.?2.如图,设A,B两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC=60m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,求A,B两点的距离.【思维导引】1.过点C作CD⊥AB,求CD即可.2.在三角形中由正弦定理计算距离.【解析】1.在△ABC中,过点C作CD⊥AB,因为AB=120m,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=75°,所以AC=AB=120m,则河的宽度为CD=ACsin30°=60m.答案:60m2.∠ABC=180°-75°-45°=60°,所以由正弦定理得,所以AB=(m).即A,B两点间的距离为20m.【类题通法】求距离问题时应注意的两点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.【定向训练】1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于()A.30(+1)m B.120(-1)mC.180(-1)m D.240(-1)m【解题指南】记A点正下方为O,在△AOB与△AOC中,根据题中数据,分别求出OB,OC,则BC=OC-OB.也可以先求出AB,再利用正弦定理计算BC.【解析】选B.方法一:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60m,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,由=tan75°=tan(45°+30°)=得到OB==60(2-)(m),在Rt△AOC中,由=tan30°=得到OC==60(m),所以河流的宽度BC=OC-OB=60-60(2-)=120(-1)m.方法二:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60m,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=,所以AB=m,在△ABC中,∠BAC=45°,由正弦定理得,所以BC==120(-1)m.2.如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1km.试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间的距离相等,然后求B,D间的距离(计算结果用根号表示).【解题指南】先求∠ADC与∠BCD,进而可发现CB是△CAD底边AD的中垂线,所以