高等数学教案第三章微分中值定理与导数应用.doc

授课章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第一节微分中值定理 目的要求 方程根的存在及不等式证明 重点难点 1 罗尔及拉格朗日中值定理 2 方程根的存在及不等式证明 复习…………………………………………………………………………………3分钟 第三章 微分中值定理与导数应用 第一节微分中值定理 罗尔定理 费马定理： SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 内可导，且 SKIPIF 1 0 ，有 SKIPIF 1 0 则有 SKIPIF 1 0 注：称使 SKIPIF 1 0 的点为驻点。 罗尔定理：如果函数 SKIPIF 1 0 满足 在闭区间[a, b]上连续； 在开区间（a, b）上可导； SKIPIF 1 0 . 则在（a, b）内至少有一点 SKIPIF 1 0 , 使 SKIPIF 1 0 . 几何解释: 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理: 如果函数 SKIPIF 1 0 满足 在闭区间[a, b]上连续； 在开区间（a, b）上可导. 则在（a, b）内至少有一点 SKIPIF 1 0 , 使等式 SKIPIF 1 0 成立. 几何解释: 注:1)当 SKIPIF 1 0 时, 上式也成立. 2)“ SKIPIF 1 0 ”的记法: SKIPIF 1 0 ,(这里 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 介于a,b之间.) 3) SKIPIF 1 0 定理:若函数 SKIPIF 1 0 在开区间（a, b）上满足 SKIPIF 1 0 , 则在闭区间[a, b]上 SKIPIF 1 0 (c为常数). ………………………………………………………………………………………42分钟 举例 证明当 SKIPIF 1 0 时,不等式 SKIPIF 1 0 成立. (用拉格朗日中值法证明不等式的步骤:1确定函数 SKIPIF 1 0 的形式;2确定区间端点.) 证明当 SKIPIF 1 0 时,不等式 SKIPIF 1 0 成立. 证明不等式 SKIPIF 1 0 成立. (分别讨论等号与不等号成立时的情况) 证明当 SKIPIF 1 0 时,不等式 SKIPIF 1 0 成立. 证明当 SKIPIF 1 0 时,不等式 SKIPIF 1 0 成立. 证明方程 SKIPIF 1 0 只有正根. (讨论根的存在性和根的唯一性) 柯西中值定理 柯西中值定理:如果函数 SKIPIF 1 0 满足 在闭区间[a, b]上连续； 在开区间（a, b）上可导( SKIPIF 1 0 ). 则在（a, b）内至少有一点 SKIPIF 1 0 , 使等式 SKIPIF 1 0 . ………………………………………………………………………………………42分钟 内容小结：方程根的存在及不等式证明 思考题：几个中值定理的关系. 作业：P132 3,5,6,10,11,12 备注： ………………………………………………………………………………………３分钟 授课章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第二节 洛必达法则 目的要求 掌握未定式极限的求法 重点难点 未定式极限的求法 复习…………………………………………………………………………………3分钟 第二节 洛必达法则 未定式 SKIPIF 1 0 称为未定式. 洛必达法则 关于 SKIPIF 1 0 型未定式 定理1:满足下列条件 SKIPIF 1 0 ; 在某个 SKIPIF 1 0 (或无穷远点的某个邻域)内 SKIPIF 1 0 存在,且 SKIPIF 1 0 ; SKIPIF 1 0 存在,或为∞, 则有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例1.求 SKIPIF 1 0 注:1) “ SKIPIF 1 0 ”可用“ SKIPIF 1 0 ”来代替; 2)类似的可用二阶导数比的极限来求一阶导数比(未定式)的极限,即 SKIPIF 1 0 (未定式)= SKIPIF 1 0