第三章 导数与微分.doc

PAGE PAGE 1 导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点 求复合函数和隐函数的导数的方法. （二） 内容提要 1.导数的概念 ⑴导数 设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处有增量，仍在该邻域内时，相应地，函数有增量，若极限 存在，则称在点处可导，并称此极限值为在点处的导数，记为，也可记为，即 . 若极限不存在，则称在点处不可导. 若固定，令，则当时，有，所以函数在点处的导数也可表示为 . ⑵ 左导数与右导数 ① 函数在点处的左导数 ＝. ② 函数在点处的右导数 ＝. ③函数在点处可导的充分必要条件是在点处的左导数和右导数都存在且相等． ２．导数的几何意义 ⑴曲线的切线 在曲线上点的附近，再取一点，作割线，当点沿曲线移动而趋向于时，若割线的极限位置存在，则称直线为曲线在点处的切线． ⑵导数的几何意义 函数在点处的导数表示曲线在点处的切线斜率. 关于导数的几何意义的3点说明: ①曲线上点处的切线斜率是纵标变量对横标变量的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时优为重要. ②如果函数在点处的导数为无穷(即,此时在处不可导),则曲线上点处的切线垂直于轴. ③函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直于轴的切线. 3.变化率 函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限，即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变量的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着自变量在某处的变化而变化的快慢程度. 4.可导与连续的关系 若函数在点处可导，则在点处一定连续.但反过来不一定成立，即在点处连续的函数未必在点处可导. 高阶导数 ⑴二阶导数 函数的一阶导数仍然是的函数，则将一阶导数的导 数称为函数的二阶导数，记为或或，即 = 或 =. ⑵阶导数 阶导数的导数称为阶导数（=3，4，,,）分别记 为 , , ,,， 或, , ,,， 或, , , ， 二阶及二阶以上的导数称为高阶导数. 6 . 微分 ⑴微分的定义 如果函数在点处的改变量，可以表示成 ， 其中是比高阶的无穷小，则称函数在点处可微，称为的线性主部，又称为函数在点处的微分，记为或，即. ⑵微分的计算 ，其中,为自变量. ⑶一阶微分形式不变性 对于函数,不论是自变量还是因变量,总有成立. 7. 求导公式 微分公式 表3.1给出了基本初等函数的求导公式及微分公式. 表3.1求导与微分公式 求导公式 微分公式 基本初等函数求导公式 基本初等函数微分公式 对求导公式作如下两点说明: 求导公式表示函数对自变量的导数，即 =, 求导公式表示函数对函数的导数，即 =. 8. 求导法则 微分法则 ⑴求导法则,微分法则见下表3.2 ⑵复合函数求导法则 ⑶参数方程求导法则 ⑷隐函数求导法 ⑸对数求导法 表3.2 求导与微分法则表 求导法则 微分法则 函数的四则运算求导法则 函数的四则运算微分法则 复合函数求导法则 设，，则复合函数的导数为 复合函数微分法则 设函数，,则函数的微分为，此式又称为一阶微分形式不变性 参数方程确定的函数的导数 若参数方程确定了是的函数，则 或 = 反函数求导法则 设的反函数为，则或 9. 微分近似公式 （1）微分进行近似计算的理论依据 对于函数,若在点处可导且导数，则当很小时，有函 数的增量近似等于函数的微分, 即有近似公式. (2) 微分进行近似计算的4个近似公式 设函数在点处可导且导数，当很小时，有近似公式，即 ， ， 令，则 ， 特别地，当，很小时，有 . 二、主要解题方法 1．用导数的定义求函数导数的方法 例1 求在处的导数. 解 由导数的定义知 . 例2 求 ，的导数. 解 当时， ， 当时，， 当时，， 所以 ， ， 因此 ， 于是 小结 求分段函数的导数时，除了在分界点处