第三章导数的应用.doc

第三章 导数的应用 3.1 中值定理 这里所讲的中值定理是微分学中值定理，它是微积分学得重要理论基础。中值定理包括三个定理两个推论。 如右图中的一个在区间内可导的函数的图像，它是一条光滑曲线。这条曲线的两个端点A、B的纵坐标相等，即，可以看到，曲线上存在着这样的具有水平切线的点，也就是说函数在这样的点处导数等于零。 一般地，有如下定理： 定理3.1（罗尔Rolle定理） 如果函数满足条件： ⑴在上连续； ⑵在内可导； ⑶， 则在区间内至少存在一点，使。 证明：因为在上连续，由闭区间上连续函数的性质，可知在上必有最大值和最小值。于是，有两种可能情况。 ⑴，此时在上恒为常数，则在内处处有。 ⑵，由于，与中至少有一个不等于端点的函数值，我们不妨假定，就是说最大值不在两个端点处取值，则内至少有一点，使得。我们可以证明。 因为是函数在内的最大值，所以总有，当时，有，又因为在内可导，所以在点处可导，即存在，由极限的保号性，有 同理，当时，有， 于是 由可知，。 下面通过一个例子来证明罗尔定理。 设，在区间显然满足罗尔定理前两个条件，且，即第三个条件也成立，这时按照罗尔定理得结论，一定能在内找到，使。。 令，解得。取，有。 如果取消罗尔定理得第三个条件并改变相应得结论，就得到更一般的拉格朗日定理。 定理3.2（拉格朗日定理） 如果函数满足条件： ⑴在上连续； ⑵在内可导； 则在区间内至少有一点，使得。 从几何上看，拉格朗日定理的意义是明显的，如上图所示，平移经过曲线两个端点的直线，移至与曲线只有一个交点处，如图中的的对应点处，在处的切线的斜率即为，因为两条直线平行，所以与直线的斜率相等。而，于是有，就是满足定理结论的点。 拉格朗日定理还有下面两个推论： 推论1 如果函数在区间内任一点的导数都等于零，则在内是一个常数。 证明：在区间上取定一点及。显然，函数在或上满足微分中值定理得条件。根据微分中值定理，有，在与之间。 已知，从而或。 设，即，有。 例1.证明: 证明: 已知,有. 由推论1,,其中是常数. 为了确定常数,令,有,即. 推论2 如果函数与函数在区间内的导数处处相等，即，则与在区间内只相差一个常数，即。 证明: ,有。由推论1 ， 有或，其中是常数。 例2.证明不等式. 证明: 令,因为是初等函数,所以在其定义域上连续,因而在上连续.由可知在内可导,则在区间上满足拉格朗日定理条件,所以至少存在一点,使得. 而,由知,即.又,当时,由式可得,于是,有,即. 对于更一般的情况,还有下面的柯西定理. 定理3.3（柯西定理） 如果与都在上连续,都在内可导,而且在内,则在内至少存在一点,使得. 在上式中,如果,就变成拉格朗日定理,所以拉格朗日定理是柯西定理的特例. 3.2 洛比达法则 我们在第一章中曾经介绍过利用极限的运算法则,函数的连续性和两个重要极限求极限的方法,本节将介绍一种借助于导数来求极限的新方法,即用洛比达法则求极限的方法. 在求极限的过程中,常常遇到这样的情形,即在同一变化过程中分子、分母同时趋于零或同时趋于无穷大的情形,这时分式的极限可能存在也可能不存在(例如,而不存在),通常分别称这两类极限为“”型或“”型未定式.对于成可利用极限运算法则或重要极限计算的形式,这种变形没有一般方法,需视具体情况而定,有时很难把握, 所能解决问题有限.下面我们介绍的洛比达法则将提供一种简便、可行、具有一般的求未定式极限的方法. 洛比达法则 “”型 若函数与满足条件: ⑴ ⑵与在点的某个邻域内(点可除外)可导,且 ⑶(或). 则(或). 洛比达法则 “”型 若函数与满足条件: ⑴ ⑵与在点的某个邻域内(点可除外)可导,且 ⑶(或). 则(或). 对于法则(一)和法则(二),把改为,仍然成立. 求 解：当时，有和，这是“”型未定式，由洛比达法则 例2. 求 解：当时，有和，这是“”型未定式，由洛比达法则 “”型 例3.求 解：当时，有和，这是“”型未定式， 由洛比达法则 “”型 例4.求 解：当时，有和，这是“”型未定式，由洛比达法则 例5.求 “”型 解：当时，有和，这是“”型未定式，由洛比达法则 例6.求 解：当时，有和，这是“”型未定式，由洛比达法则 （利用重要极限） 洛比达法则不但可以用来求“”和“”型未定式的极限,还可以