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第三章 微分中值定理与导数的应用 一、基本要求及重点、难点 1．基本要求 (1) 理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理，了解柯西（Cauchy）中值定理（对三个定理的分析证明不作要求），会利用中值定理证明一些较为简单的数学问题。 (2) 掌握洛必达（L’Hospital）法则求不定式极限的方法。 (3) 了解泰勒（Taylor）定理以及用多项式逼近函数的思想（对定理的分析证明以及利用泰勒定理证明相关问题不作要求）。 (4) 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值与最小值的应用问题。 (5) 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘一些简单函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。 (6) 了解弧微分、曲率和曲率半径的概念，会求曲率和曲率半径等。 2．重点及难点 （1）重点：拉格朗日中值定理, 洛必塔法则,。函数的单调性、极值。 （2）难点：微分中值定理。 二、内容概述 罗尔定理 若函数满足以下条件： 在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； （3）； 则在开区间内至少存在一点，使得。 罗尔定理的几何意义：若连续曲线上的弧，除端点外处处具有不垂直于轴的切线，且在弧的两个端点处的纵坐标相等，则在弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于轴。 拉格朗日中值定理 若函数满足以下条件： 在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； 则在开区间内至少存在一点，使． 拉格朗日中值定理的几何意义：若连续曲线上的弧，除端点外处处具有不垂直于轴的切线，则在弧上至少有一点C，使曲线在C点的切线平行于弦。 推论：如果函数在区间I上的导数恒为零，那么在区间I上是一个常数。 柯西中值定理 如果函数及满足： 在闭区间连续； （2）在开区间内可导； （3）对任意； 那么在内至少有一点，使等式． 4．泰勒中值定理 如果函数在含有的某开区间内具有直到阶导数，则对有， 其中 （在与之间） 5．洛必达法则 如果当（或时，函数和都趋于零或都趋于无穷大，则称极限为未定型极限，并分别记为“”或“”，洛必达法则是求未定型极限的一种有效方法。 未定型“”型的洛必达法则。 设函数与满足以下条件： 在点的某一邻域（点可除外）有定义，且； 在该邻域内存在，且； 存在（或为； 则（或为，相应地有（或为。 未定型“”型的洛必达法则 设函数满足以下条件： 在点的某一邻域（点可除外）有定义，； 在该邻域内都存在，且； 存在（或为； 则（或为，相应的有（或为。 6．可化为“”和“”的其他五类不定式 当而，称为型不定式。 当而， 称为型不定式。 当而， 称为型不定式。 当而， 称为型不定式。 当而， 称为0型不定式。 7.用函数的导数判定函数的单调增减性 若当时，或， 则在内单调增加（或减少），且称为函数的单调增加区间（或减少区间）。 8.用函数的导数判定函数的极值 设函数在邻域内连续。若或不存在， 且时,；而时，； 则在处有极小值，且 为极小值。 又时，；而时，； 则在处有极大值，且为极大值。 在邻域内二阶可导，且，，则在取极值。 其中当时，在处有极大值； 当时，在处有极小值。 9.用函数的导数确定函数在闭区间上的最值 已知函数在区间上连续，且至多有有限个不可导点，则由函数在内导数为零及导数不存在点的函数值和端点的函数值一起比较，取其最大者和最小者为在上的最大值和最小值。 10.用函数的二阶导数判定曲线的凹凸和拐点 （1）若当时有，则曲线在内凸． （2）若当时有，则曲线在内凹． （3）若是曲线在内的连续点，且在的左右两边曲线的凹凸性相异，则为的拐点． 11.用极限确定曲线的渐近线 已知在有定义，且在该邻域内或，若或，称曲线有水平渐近线。 同样理解的渐近线。 若，或，称为的铅直渐近线。 12.作函数图形的步骤 确定函数的定义域及奇偶性等函数的特性。 求一、二阶导数，确定或不存在，或不存在的点。 列表讨论曲线的升降区间，凹凸区间以及极值点，拐点。 确定曲线是否有水平渐近线，垂直渐近线。 若曲线和坐标轴相交，也可确定曲线与坐标轴交点的坐标。 画图时先确定极值点，拐点等点的位置和渐近线的位置，再将点和点间用升降，凹凸曲线合理连接起来。 三、典型例题分析 例1：在区间中，下列四个函数中满足罗尔定理条件的函数有（ ）个。 分析：容易验证这四个函数都是 中连续的偶函数，故 。而 是这四个分段函数的分界点。故 是否存在成为检查是否满足罗尔定理的关健。 解：（Ⅰ）不存在 （Ⅱ） （Ⅲ） 所以不存在。 （Ⅳ） 所以 所以 和二个函数满足罗尔定理条件。 例2：求函数在区间[0