高中数学数列讲义总结.doc
数列
知识清单
1．数列的概念
表示数列，表示数列中的第项，=表示数列的通项公式；
同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，==；不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……
其图象是一群孤立点。
数列{}的前项和与通项的关系：
等差数列
1相关公式：
定义：
〔2〕通项公式：
〔3〕前n项和公式：
〔4〕通项公式推广：
2.等差数列的一些性质
〔1〕对于任意正整数n，都有
〔2〕的通项公式
〔3〕对于任意的整数，如果，那么
〔4〕对于任意的正整数，如果，那么(等差中项)
〔5〕对于任意的正整数n1，有
〔6〕对于任意的非零实数b，数列是等差数列，那么是等差数列
〔7〕是等差数列，那么也是等差数列
〔8〕等都是等差数列
〔9〕是等差数列的前n项和，那么仍成等差数列，即
〔10〕假设，那么
〔11〕假设，那么
〔12〕，反之也成立
〔13〕设数列是等差数列，且公差为，
假设项数为偶数，设共有项，那么①奇偶；②；
假设项数为奇数，设共有项，那么①偶奇；②。
〔14〕数列最值
〔1〕，时，有最大值；，时，有最小值；
〔2〕最值的求法：①假设，可用二次函数最值的求法〔〕；②假设，那么最值时的值〔〕可如下确定或。
〔15〕等差数列中，
等比数列
1相关公式：
〔1〕定义：
〔2〕通项公式：
〔3〕前n项和公式：
〔4〕通项公式推广：
2.等比数列的一些性质
〔1〕对于任意的正整数n，均有
〔2〕对于任意的正整数,如果，那么
〔3〕对于任意的正整数，如果那么〔等比中项〕
〔4〕对于任意的正整数n1,有
〔5〕对于任意的非零实数b，也是等比数列
〔6〕是等比数列，那么也是等比数列
〔7〕如果，那么是等差数列
〔8〕数列是等差数列，那么是等比数列
〔9〕等都是等比数列
(10)是等比数列的前n项和，
①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列.
②当q≠－1或k为奇数时，仍成等比数列
〔11〕等比数列中，
数列求和
1重要公式：
；
；
[例1]，求的前n项和.
解：由
由等比数列求和公式得〔利用常用公式〕
＝＝＝1－
[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.
解：由等差数列求和公式得，〔利用常用公式〕
∴＝
＝＝
∴当，即n＝8时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例3]求和：………①
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积
设……….②〔设制错位〕
①－②得〔错位相减〕
再利用等比数列的求和公式得：
∴
[例4]求数列前n项的和.
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………①
………………②〔设制错位〕
①－②得〔错位相减〕
∴
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n个.
[例5]求证：
证明：设…………..①
把①式右边倒转过来得
〔反序〕
又由可得
…………..……..②
①+②得〔反序相加〕
∴
[例6]求的值
解：设………….①
将①式右边反序得
…………..②〔反序〕
又因为
①+②得〔反序相加〕
＝89
∴S＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例7]求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
〔分组〕
当a＝1时，＝〔分组