高中数学讲义 数列：第4讲数列的应用.pdf

数列的应用

1.数列求和方法

(1)公式法：

(I)等差数列、等比数列前〃项和公式.

(II)常见数列的前〃项和：

①1+2+3+...+〃=

②2+4+6+...+2〃=

③1+3+5+...+(2〃-1)=

2222

@1+2+3+...+H=

3333

@l+2+3+...+7i=.

(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.

(3)倒序相加：如等差数列前〃项和公式的推导方法.

(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.等比数列小｛｝前〃项和公

式的推导方法就采用了错位相减法.

(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和.

常见的裂项公式

①1____1_

1n(H+1)n+V

②(2〃-1)(2n+1)-Q/7—12〃+1｝

(3)5

%(九+1)(〃+2)

1________1

_n(n+1)(n+1)(〃+2)_;

(如一我

n___________1_____

⑨(〃+1)!=--(n+1)!;

®cr=

⑦〃•〃！=!~n!

⑧“=“S—S”-1(n2).

n

2.数列应用题常见模型

(1)单利公式

利息按单利计算，本金为〃元，每期利率为r,存期为x,则本利和丫=

(2)复利公式

利息按复利计算，本金为〃元，每期利率为r,存期为x,则本利和丫=

(3)产值模型

原来产值的基础数为M平均增长率为p,对于时间x,总产值y=

(4)递推型

递推型有“”+|=负%)与S,+i=/(S0)两类.

(5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等.

【答案】

„(〃+1),

1.(1)(11)@2②/+〃

n(〃+1)(2〃+1)

③〃2(4

6

⑸①：可就/匕端

1

©C^i-C⑦(〃+1)

r

2.(l)a(l+xr)(2)«(l+r)(3)(l+p)，

【基础自测】

1通项公式斯=2+l(〃eN*)的数列斯｛｝的前10项和$0=()

A.60B.120C.210D.240

解：该数列为等差数列，a=3,321,

.°_(d+=)X10_(3+21)X10

•.5c-2—2-12U・

故选B.

2设数列1,(1+2),(1+2+22+…+2i),…的前〃项和为S,”则£等于()

n

A.2