高中数学课件：4-2-4等差数列前n项和的最值及应用.pptx

第四章数列

4.2.2第4课时

等差数列前n项和的最值及应用

素养目标

学科素养

1.掌握等差数列前n项和公式的函数特征并用其判断等差数列。(重点)

2.学会用前n项和求数列的通项公式。(重点)

3.掌握求等差数列前n项和的最值得几种常用方法，进一步理解等差数列的特征。(难点)

1、数学建模

2、数学运算

1.等差数列的前n项和公式：

形t

等差数列的两个求和公式中，涉及a₁,d,n,a₁及S,利用等差数列的通项公式及前n项和公式可“知三求二”。

等差数列前n项和的函数特征

1.将等差数列前n项和公式：

看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点?

,则S,=pn²+qn

)

注意：(1)常数项为0,(2)p,q均可取0.

探究新知

0,d0时，S有最小值，使S₄取到最值的n可由不等

式组确定.

(2)等差数列{an}的前n项和若d≠0,则

从二次函数的角度看：当d0时，S₄有最大值；当d0

时，Sn有最大值，且n取最接近对称轴的正整数时，S取到最值.

[1]d的符号决定Sn有最大值还是最小值

探究新知

(1)在等差数列{an}中，当a₁0,d0时，S₁有最大_值，

使S取到最值的n可由不等式组

确定；当a₁

思考：一个数列的前n项和S,=pn²+qn,那么该数列一定是等差数列吗?

需要求出其通项公式如何由S,求a,,呢?

数列{a,}中S,=a₁+a₂+a₃+…+a,

数列{a,}的前n项和S,与通项公式a,之间存在什么关系?

S₁=a₁

S₂=a₁+a₂

S₃=a₁+a₂+a₃

●●

S₁=a₁+a₂+a₃+…+a-1

S=a₁+a₂+a₃+…+a-+a₁

1.若等差数列{an}的前n项和S₁=An²+Bn(A≠0),则S₂的

最大值或最小值一定在取得.(×)

2.若等差数列{an}的公差d0,则{an}的前n项和一定有最

小值.(V)

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sp=Sq(p,q∈N),

则S在处取得最大值或最小值.(×)

微判断

.等差数列{an}的前n项和S,=n²-3n,则其最小值为-2

解析因为所以当n=1或n=2

时，S,取最小值-2.

2.设a,=14-3n,则数列{an}的前n项和S,有最大(填“大”

或“小”)值，且最值为26.

解析因为a₁=110,d=-30,所以S有最大值.

由得n=4,

则其最大值为S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=11+8+5+2=26.

经典例题题型一等差数列前n项和的最值问题

[例1](多选题)在等差数列{an}中，首项a0,公差d≠0,

前n项和为S,(n∈N*),则下列说法正确的有(ABCD)

A.若S₃=S₁₁,则S₁₄=0

B.若S₃=S₁₁,则S₇是数列{S,}中的最大项

C.若S₇Sg,则SgS₉

D.若S₇Sg,则S₆Sg

解析根据等差数列的性质，若S₃=Sii,则S₁-S₃=4(a₇+

as)=0,则ay+aa=0,所以，

且a₇0,ag0,d0,所以S₇是数列{S,}中的最大项；若

S₇Ss,则ag0,且d0,所以ag0,所以S₉-Sg0,即

SgSg,S₉-S₆=a₇+ag+ag=3ag0,即SSg,所以ABCD

都正确.

规律方法

一般地，在等差数列{an}中，当a₁0,且Sp=Sq(p≠q)

数，则当时，Sn最大；若p+q为奇数，则当

时，Sn最大.

经典例题题型一等差数列前n项和的最值问题

时，若p+q为偶

或

经典例题题型一等差数列前n项和的最值问题

[训练1]设等差数列{an}的前n项和为S,,若Sis0,Si₆0,

则数列的前15项中最大的项是(B)

A.第1项B.