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微积分讲课提纲 微积分（I） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@zju.edu.cn 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号. 例 求积分 解 令 例 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数. 例 求积分 解 先对分母进行有理化 原式 例 解 注1：一般地，二次三项式 可利用 欧拉变换。 若 则可令 若 还可令 注2：通常所说的“求不定积分”，是指用初等函数的形式把这个不定积分表示出来。在这个意义下，并不是任何初等函数的不定积分都能“求出”来的。 例如： 例: 求 解: 令 例 解 例 解 * * 第三节 某些特殊类型函数的不定积分 第四章　 不　定　积　分 一.有理函数的不定积分 二.三角函数有理式的不定积分 三.某些无理函数的不定积分 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数. 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式 和一个真分式之和. 由代数学定理: Q(x)=b0(x-a)? …(x-b)? (x2 +px+q)? …(x2+rx+s)? 难点: 将有理函数化为最简分式之和. 部分分式分解的步骤： 第一步 对分母 在实系数内作标准分解： 其中 均为自然数，而且 第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式： 对于每个形如， 的因式，它所对应的部分分式是 对于每个形如 ，则分解后为 的因式，其中 第三步 确定待定系数 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入 例 例 整理得 例 求积分 解 例 求积分 解 例 求积分 解 令 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 多项式； 讨论积分 令 则 记 对于 可得递推公式如下： 整理得： 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 令 （万能置换公式） 例 求积分 解 由万能置换公式 例 求积分 解（一） 解:(二） 修改万能置换公式, 令 解:(三) 可以不用万能置换公式. 结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换. 例 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. 其它三角函数有理式的积分计算 * *