高等数学教程（第4版）课件：几种特殊类型函数的不定积分.pptx

前面例题中所求的不定积分,都得到了原函

几种特殊类型函数的不定积分

但有相当多的初等函数虽然存在原函数,原函

例如

等不定积分都“积不出来”.

数的解析表达式,因而都是初等函数.

数却不是初等函数.

两个多项式之商表示的函数称为有理函数.即

5.4.1有理函数的积分

下面我们介绍几类原函数一定是初等函数

的不定积分.

假定分子与分母之间没有公因式.

称为有理真分式；

称为有理假分式.

利用多项式除法,假分式可以化成一个多

例如,

难点:将有理函数化为部分分式之和.

项式与一个真分式之和.

有理函数化为部分分式之和的一般规律:

特殊地：

分解后为

(2)分母中若有因式，其中

则可以分解为

特殊地：

分解后为

真分式化为部分分式之和的方法为待定系数法.

任意有理真分式的不定积分都归纳为下列

其中A,B,a,p,q都为常数,

分别讨论上述几种类型的不定积分.

并且

四种典型部分分式的积分之和.

k为大于1的正整数.

用递推公式

综上所述,所有有理函数的原函数都是初等函数.

例5.34计算

解

比较等式两端x项系数得

解

例5.35计算

故

整理得

解

例5.36计算

故

所以

解作变换

原式

练习计算

常见类型

解决方法作代换去掉根号.

5.4.2简单无理函数的积分

某些无理函数的积分,通过适当的变量代换,

分别令

可以化为有理函数的积分.

解令

例5.37计算

解令

原式=

例5.38计算

例5.39计算

三角有理式是指：

由三角函数和常数经过有限次四则运算构

5.4.3三角函数有理式的积分

化为的有理函数的积分.

(万能代换公式)

解设

例5.40计算

解1设

例5.41计算

解2修改万能代换公式

解3可以不用万能代换公式

结论:比较以上解法,便知万能代换不一定是最

佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,

不得已才用万能代换.