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§2.7 复数和实数域上多项式 以下两节针对复数,实数和有理数域特点分别研究它们的一元多项式的根与因式分解. 这三个数域上的多项式最常用. (先讨论复数域多项式)对数域F上的任意n(0)次多项式f(x), 在F中未必有根, 但复数域C上多项式却有重要的?: 定理2.7.1 (代数基本定理) 任何n(0)次多项式在复数域中至少有一个根. ? (本定理的证明须用到数学分析工具, 或复变函数理论, 在此不给证明, 下一定理是基本定理的直接结果:) §2.7 复数和实数域上多项式 定理2.7.2 任何 n(0) 次多项式在复数域中有n个根(重根按重数计算). 证: 设f(x)是一个n(0)次多项式, 则由Th2.7.1, 它 在复数域C中有一个根?1, 因此在C[x]中: f(x)=(x??1)f1(x), 其中f1(x)是C上一个n?1多项式. 若n?10, f1(x)在C中有一个根?2, 在C[x]中有: f(x)=(x??1)(x??2)f2(x). 继续下去, 最后可知: f(x)在C[x]中完全分解成n个一次因式乘积,. ∴ f(x)在C中有n个根. ? §2.7 复数和实数域上多项式 (由Th2.7.2证明显然有:) 结论 复数域C上?一n(0)次多项式可在C[x]中分解为一次因式乘积. C上任一次数大于1的多项式都是可约的. (类似中学二次方程根与系数关系, 这里讨论:) n次多项式的根与系数关系: 令 (1) f(x)=xn+a1xn?1+...+an 是一个n次多项式,则在复数域C中f(x)有n个根?1, ?2, ..., ?n , 在C[x]中, f(x)完全分解成一次因式的乘积: f(x) = (x??1)(x??2) ... (x??n). §2.7 复数和实数域上多项式 展开右边括号并合并同类项, 比较所得系数与 (1)右边系数, 得到根与系数关系: a1= ?(?1+?2+ ... +?n) ; a2= ?1?2 +?1?3 + ...+?n?1?n ; a3= ?(?1?2 ?3 +?1?2 ?4 +...+?n?2?n?1 ?n) ; ............ ; an?1=(?1)n?1(?1?2...?n?1+?1?3...?n+...+?2?3...?n) ; an=(?1)n ?1?2...?n . 其中第k(k=1,2,...,n)个等式右边是一切可能的k个根的乘积之和, 乘以(?1)k. §2.7 复数和实数域上多项式 多项式 f(x) = a0xn + a1xn?1 +...+an 的首项系数a0 ?1时, 应用根与系数的关系要先用a0除所有系数(这样做不改变多项式的根),则根与系数关系形式如下: a1/a0 = ?(?1+?2+ ... +?n) ; a2/a0 = ?1?2 +?1?3 + ...+?n?1?n ; ............ an/a0 = (?1)n ?1?2...?n . §2.7 复数和实数域上多项式 利用根与系数关系可求出已知根的多项式?. 例如 求有单根5与?2, 二重根3的四次多项式, 由根与系数关系, 可得: a1= ?(5?2+3+3) = ?9, a2= 5(?2)+5?3+5?3+(?2)3+(?2)3+3?3 =17, a4= ?[5(?2)3+5(?2)3+5?3?3+(?2)3?3] =33, a5=5(?2)3?3 = ?90. ∴ 所求多项式为: f(x) = x4?9x3 +17x2 +33x?90; 或: f(x) = ax4?9ax3 +17ax2 +33ax?90a (a?0). §2.7 复数和实数域上多项式 (下面导出) 实系数多项式性质: 定理2.7.3 若实系数多项式f(x)有一个非实的复数根?, 则?的共轭数也是f(x)的根, 且?与有相同重数 (即:实系数多项式的非实复数根两两成对). 证: 令 f(x) = a0xn + a1xn?1 +...+an . 由假设, 有: a0?n + a1?n?1 +...+an= 0, 两边取共轭数, 得: