1.4复数域、实数域、有理系数多项式.ppt

* 第一章 多项式 * * * §1.4 复数域、实数域、 有理系数多项式 一、C上多项式 对于 上的多项式 ，它在F上未必有根， 那么它在C上是否有根？ 每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有一个根。 定理1.4.1（代数基本定理）： 任何n（n0）次多项式在C上有n个根（重根按重数计算）。 定理1.4.2： 推论1：复数域上任一个次数大于1的多项式都是可约的，即C上不可约多项式只能是一次多项式。 推论2： 任一个n（n0）次多项式 在 上都能分解成一次因式的乘积，即 的标准分解式是： 其中 是不同的复数， 是自然数且 二、实数域上的多项式 唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的 定理1.4.3 每个次数 的实系数多项式都可 乘积。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 的系数互素，则称 是一个本原多项式。 例如： 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。 是本原多项式。 有理系数多项式 引理（高斯定理）： 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。 定理1.4.4： 一个整系数n（n0）次多项式 在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。 C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判别法回答了这个问题。 问题： 定理1.4.5（Eisenstein判别法）： 设 是整系数多项式， 若存在素数p，使 ② ① ③ 则 在Q上不可约。