题目设实数,且实系数多项式函数满足.PDF

題目：設實數 1 ，且實係數多項式函數f (x) a xn a xn1  a x a n n1 1 0 滿足： n a0 ak  0 。 k 1 試證： 在 的範圍內至少有一實根。 f (x) 0 0  x 1 試題來源 ■自 編 □改編於： 類 別 ■代數 □數 論 □ 組合 □ 幾何 難 易 度 □難 □中等 ■易 編 號 筆試 (一第一題) 參考解答：  1 f (1) a a  a a 0 f (x ) 0 (1)當 時， n n1 1 0 ，即 有一實根 x 1 。 n (2)當 時，由於 a  (1)a ，我們有 1  k 0 k 0 a 0 f (1) a a  a a 0 f (x ) 0 x 1 (i) 0 時， n n1 1 0 ，即 有一實根 。 n n (ii) 時， a 與 為異號的兩實數，而 且f (1) a ， a0  0  k a0 f (0)  a0  k k 0 k 0 故 f (0)  f (1) 0 。因此，由多項式函數的堪根定理知，f (x) 0 在 0  x 1 的範圍內至少有一實根。 n 【另證】因f (0)  f (1)  a a  a (1)a (1)a2 0 ，故由多項式函數的堪根 0 k 0 0 0 k 0 定理知 f (x) 0 在 0  x 1 的範圍內至少有一實根。 a4 b4 c4 a3 b3 c3 a2 b2