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* §1.9 有理系数多项式 * 一、本原多项式 二、整系数多项式的因式分解 三、整系数多项式的有理根 四、整系数多项式在Q上不可约的判定 问题的引入 1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形： 对 则 可唯一分解 成不可约的有理系数多项式的积. 但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个 一般的方法. 2. 在C上只有一次多项式才是不可约多项式； 在 上，不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式； 但在 上有任意次数的不可约多项式．如 如何判断 上多项式的不可约性呢? 3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题． 这是因为任一有理数可表成两个整数的商． 事实上，设 则可选取适当整数 使 为整系数多项式． 若 的各项系数有公因子，就可以提出来，得 也即 其中 是整系数多项式，且各项系数没有异于 的公因子． 一、本原多项式 设 定义 若 没有 则称 为本原多项式． 异于 的公因子，即 是互素的， 本原多项式未必是不可约，不可约多项式未必就本原。 注意: 有关性质 1． 使 其中 为本原多项式． （除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． 2．Gauss引理 定理10　 两个本原多项式的积仍是本原多项式． 设 是两个本原多项式． 若 不是本原的，则存在素数 证： 又 是本原多项式，所以 不能整除 的 每一个系数． 反证法． 令 为 中第一个不能被 整除的数，即 同理， 本原，令 为 中第一个不能被 整除的数，即 又 矛盾． 在这里 故　　是本原的． 定理11　若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积． 二、整系数多项式的因式分解 设整系数多项式 有分解式 其中 且 证： 令 这里， 皆为本原多项式， 于是 由定理10， 本原， 即 从而有 得证． 设 是整系数多项式，且 是本原 推论 的，若 则　　 必为整系数多项式． 令 本原， 即 为整系数多项式． 证： 于是有， 定理12 设 是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根， 其中 是互素的，则必有 三、整系数多项式的有理根 是 的有理根， 从而 又 互素， 比较两端系数，得 证： ∴ 在有理数域上， 由上推论，有 本原． 所以， ①定理12是判断整系数多项式有理根的必要条件， 而非充分条件； 注： ②当f(x)为首1多项式时， f(x)的有理根皆为整数； ③可用　　　　　　　（或者　　　　　　　）　　　　　　 事先筛选再讨论 例1　求方程 的有理根. 可能有理根为 用综合除法可知，只有1为根． 解： 例2　在有理数域上分解多项式. 答案： 例2　 证明: 在 上不可约． 若 可约， 但 的有理根只可能是 所以 不可约． 证： 则　　 至少有一个一次因式， 也即有一个有理根． 而 矛盾． 定理13　 艾森斯坦因Eisenstein判别法 设 是一个整系数多项式，若有一个素数 使得 则 在有理数域上是不可约的． 四、整系数多项式在Q上不可约的判定 若 在 上可约，由定理11， 可分解为两次数较低的整系数多项式积 证： 又 不妨设 但 或 不能同时整除 另一方面， 假设 中第一个不能被 整除的数为 比较两端