2011年度竞赛复数与多项式.doc

复数与多项式 讲义 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，则z=reiθ，称为复数的指数形式。 I．复数的四种表示形式 代数形式：R） 几何形式：复平面上的点Z（）或由原点出发的向量. 三角形式：R. 指数形式：. 复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实. II．复数的运算法则 加、减法： 乘法： 除法： 乘方（棣莫弗定理）：N）； 开方：复数次方根是 单位根：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-). 复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z≠0）. 代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。 实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。 若a,b,c∈R,a≠0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当Δ=b2-4ac0时方程的根为 III．复数的模与共轭复数 复数的模的性质 ① ② ③ ④、对应的向量、反向时取等号； ⑤，向量同向时取等号. 共轭复数的性质 ①； ②； ③ ④； ⑤； ⑥ ⑦z是实数的充要条件是是纯虚的充要条件是 Ⅳ．复数解题的常用方法与思想 （1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主 值相等（辐角相差2的整数倍）. 利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径. （2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面. 赛 题 精 讲 例1：设m、n为非零实数，i为虚单位，C，则方程①与 ② 如图I—1—8—1，在同一复平面内的图形（F1、F2是焦点）是（ ） 例2：若的值是 . 例3：x的二次方程、、m均是复数，且. 设这个方程的两个根为、，且满足. 求|m|的最大值和最小值. 例4： 例5：设复数 . 例6：设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为则复数所对应的不同的点的个数是（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 针对性训练题 在复平面上，曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 2、已知关于x的实系数方程和的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是 。 3、在复平面上，非零复数z1、z2在以i对应的点为圆心，1为半径的圆上，的实部为零，argz1=，则z2= （A） （B） （C） （D） 4．设 是实系数一元二次方程的根，若是虚数，是实数，则 的值为 A 0 B -998 C 998 D 1 5、（其中，[x]表示不超过x的最大整数）的值为 （A） （B） （C） （D） 1．设x是模为1的复数，则函数的最小值为 （ ） A