北京邮电大学版线性代数课后题答案解析.doc

专业资料 word文档下载可编辑 习题 六 （A类） 1. 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； (2) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： k·； (3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法； (4) 与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法. 【解】（1）是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1?8条性质，因此只需考虑反对称（上三角）矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为任一实数，则 (A+B)′=A′+B′=?A?B=?(A+B), (kA)′=kA′=k(?A)=?(kA), 所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间. （2） 否.因为(k+l)·,而,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质. （3） 否.因为零矩阵不可逆（又因为加法和数量乘法都不封闭）. （4） 否.因为加法不封闭.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它们之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不属于这个集合. 2. 设U是线性空间V的一个子空间，试证：若U与V的维数相等，则U＝Ｖ. 【证明】设U的维数为m，且是U的一个基，因UV,且V的维数也是m，自然也是V的一个基，故U=V. 3. 在R４中求向量＝(0,0,0,1)在基＝(1,1,0,1),＝(2,1,3,1), ＝(1,1,0,0), ＝(0,1,－1,－1)下的坐标. 【解】设向量在基下的坐标为(),则 即为 解之得()=(1,0,?1,0). 4. 在R３中，取两个基 ＝(1，2，1)，＝(2，3，3)，＝(3，7，1)； ＝(3，1，4)，＝(5，2，1)，＝(1，1，－6)， 试求到的过渡矩阵与坐标变换公式. 【解】取R３中一个基（通常称之为标准基） =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1). 于是有 所以由基到基的过渡矩阵为 坐标变换公式为 其中()与（）为同一向量分别在基与下的坐标. 5. 设α1,α2,α3与β1,β2,β3为R3的两个基，且由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵为 ， (1) 求由基β1，β2，β3到基α1,α2,α3的过渡矩阵B； (2) 若向量α在基β1,β2,β3下的坐标为(2，3，1)′，求α在基α1,α2,α3下的坐标. 解（1），由于A又逆，所以得，可见A-1为从到的过渡矩阵B利用求逆矩阵方法 （2）由定理3知， 6. 在R4中取两个基 (1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵； (2) 求向量()在后一个基下的坐标； (3) 求在两个基下有相同坐标的向量. 【解】(1) 这里A就是由基到基的过渡矩阵. (2) 设,由于()=()A?1,所以 因此向量在基下的坐标为 (3) 设向量在这两个基下有相同的坐标,那么 即 也就是 解得,其中为任一非零实数. 7. 说明平面上变换的几何意义，其中 (1)； (2) ； (3) ； (4) . 【解】,T把平面上任一点变到它关于y轴对称的点. ,T把平面上任一点变到它在y轴的投影点. ,T把平面上任一点变到它关于直线x=y对称的点. ,T把平面上任一点变到它绕原点按顺时针方向旋转90°后所对应的点. 8. 设V是n阶对称矩阵的全体构成的线性空间［维数为］，给定n阶方阵P，变换 T(A)＝P′AP， A∈Ｖ 称为合同变换，试证合同变换T是V中的线性变换. 【证明】因为A,B∈V,k∈R,有 T(A+B)=P′(A+B)P=P′AP+P′BP=T(A)+T(B), T(kA)=P′(kA)P=k(P′AP)=kT(A). 所以T是线性空间V的一个线性变换. 9. 在R3中取两个基： α1=(-1,0,-2),α2=(0,1,2),α3=(1,2,5); β1=(-1,1,0),β2=(1,0,1),β3=(0,1,2). 定义线性变换T： T(α1)=(2,0,-1),T(α2)=(0,0,1),T(α3)=(0,1,2), 求线性变换T在基β1,β2,β3下的矩阵. 解：设 则 所以 故 又， 所以T在基下的矩阵为 10. 函数集合 V3＝｛＝(a2x2+a1x+a0)ex｜a2，a1,a0∈R｝ 对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基 1＝x2ex, 2＝2xex, 3＝3ex， 求微分运算D在这个基下的矩阵. 【解】 即 因此D在基下的矩阵为. 1