现代控制理论稳定性理论课件.ppt

则系统一致渐近稳定。因为 ，故一致稳定； 因 ，故 ，系统又是渐近稳定的。 第四节 李雅普诺夫第二法稳定性定理 根据古典力学中振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，不过寻求实际系统的能量函数相当困难。李雅普诺夫提出，可虚拟一个能量函数，一般它与 和t有关，记以 ；若不显含t，则记以 。它是一个标量函数，考虑到能量总大于零，故为一个正定函数。其能量衰减特性用 或 表征。李雅普诺夫利用 及 的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求出动态方程的解，故第二法有直接法之称。用此方法解决过一些用其它稳定性判据无法解决的特定非线性系统的稳定性问题，遗憾的是对一般非线性系统仍未形成构造李雅普诺夫函数的一般方法，对线性系统则常用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。 下面我们不打算对第二法诸稳定性定理在数学上作严格证明，而着重于物理概念的阐述和应用。先简明回顾标量函数正定性概念。 正定性 标量函数 在域 中对所有非零状态（即 ）有 ，且 ，则称 在 域内正定。如 是正定的。 负定性 标量函数 在域 中对所有非零 有 ，且 则称 在域 内负定。 则正定的。如 是负定的。 负（正）半定性 在域 中的某些状态处有 及 ，其它状态处均有 （ ），则称 在域  内负（正定）半定。 负半定， 同正半定。 如 ，有 时， ； 时， 故 负半定。则 为正半定。 不定性 在域 中可正可负，则称 不定。如 是不定的。 若 正定，则对于 及所有非零状态有 ，且 。其余定义类同。 二次型函数是一类重要的标量函数，记以 式中 为对称阵 ；显然满足 ；其正定性由赛尔维斯特准则判定：当 的各顺序主子行列式均大于零时，即 正定，且称 为正定矩阵。当 的各顺序主子行列式负、正相间时，即 负定，且称 为负定矩阵。 对应主子行列式且含有等于零的情况时，则 为负半定或正半定的。不属于以上所有情况者为不定的。 下面来介绍李雅普诺夫第二法诸稳定性定理。 设系统状态方程为 ，其平衡状态满足 ，即不失一般性地把原点作为平衡状态；在原点邻域存在向量 的标量函数 ，具有连续一阶偏导数。 定理一 若满足下列条件： 1． 正定； 2． 负定； 则原点是渐近稳定的。 浅释： 负定表示能量随时间连续单调地衰减，与渐近稳定性定义叙述一致。 定理二 若满足下列条件： 1． 正定； 2． 负半定； 3. 负半定表示在非零状态存在 = 0 。在从任意初态出发的轨迹 上若存在 系统将维持某等能量水平运行而不再衰减，但条件3说明不存在这种情况，状态轨迹只是经历能量不变的状态而不会停留在该状态，系统会继续运行至原点。经校验确知满足条件3，  负半定即可渐近稳定；已知负半定，必须校验条件3， 才能确定稳定性质。