现代控制理论_稳定性与李雅普诺夫方法案例.ppt

二次型定号性的判别方法一 二次型定号性的判别方法一 二次型定号性的判别方法一 二次型定号性的判别方法二 则系统原点平衡状态不稳定。 定理4 时变系统 定常系统： 如果存在具有连续一阶偏导数的标量函数 其中， 且满足： (1) (2) 注 意 存在具有连续一阶偏导数的标量函数 上述定理是系统平衡状态稳定的充分条件。如 果不满足定理，系统零平衡状态不一定不稳定！应 该重新选取李雅普诺夫函数进行分析。 仅有数学方程，没有物理意义的系统 求出能量随时间变化率 。 依据系统的状态方程考察能量函数在运动过程 中的变化规律。 利用 和 的符号特征，判断平衡状 态稳定性。 虚构一个与时间有关的能量函数（李雅普诺夫函数） ——标量函数。 例：分析下列系统平衡状态的稳定性。 解： 选取： 正定 负定 大范围渐近稳定 几何意义： 表示系统状态 到空间原点的距离。 表示状态 趋向原点的速度。 例：分析下列系统平衡状态的稳定性。 解法一：求平衡状态 选取李雅普诺夫函数： 正定 负定 系统原点平衡状态为大范围渐近稳定 例：分析下列系统平衡状态的稳定性。 解法二：求平衡状态 选取李雅普诺夫函数： 正定 半负定 系统原点平衡状态为大范围渐近稳定 只在原点为零 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 线性定常连续系统 选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数 线性连续系统渐近稳定判据 原点是唯一的平衡状态 线性定常连续系统 选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数 原点是唯一的平衡状态 令 线性定常连续系统 选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数 原点是唯一的平衡状态 线性定常连续系统渐近稳定 给定 存在 满足 李雅普诺夫矩阵代数方程 线性定常连续系统渐近稳定 给定 存在 满足 李雅普诺夫矩阵代数方程 判别步骤： (2)求解 (1)选取 为正定实对称矩阵（对角阵或单位阵）； (3)若P为正定实对称矩阵，则系统渐近稳定。 若 可选取 为半正定实对称矩阵 * 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 李雅普诺夫意义下稳定 渐近稳定 大范围渐近稳定 线性系统稳定性与初始条件无关，如果渐 近稳定，则必然大范围渐近稳定；非线性系统则不一定。 不稳定 输出稳定的充要条件：传递函数矩阵中所有元素的极点全部位于s的左半平面。 李雅普诺夫第一法 （外部稳定性） (1)若系统对有界输入所产生的输出也是有界的，称该系统为输出稳定。 (2)线性定常系统，A阵所有特征值均具有负实部，则渐进稳定；若同时还有一个特征值为0，则具有李雅普诺夫意义下的稳定性；若等于0的特征值不止一个，或有特征根实部为正，则不稳定。 状态稳定性 线性定常系统如果是状态稳定的，则系统一定是输出稳定的 。 线性定常系统如果是输出稳定的，则系统未必是状态稳定的。 两个推论： 参见例4.1 4.3 李雅普诺夫第二法 无需求解微分方程，直接判断系统稳定性。 系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统渐近稳定。 反之，系统则不稳定。若能量在运动过程中不增不减，则称为李雅普诺夫意义下的稳定。 需引入虚构的能量函数v(x)。 若v(x) 0，并且 0，则系统是渐近稳定的。 例：机械位移系统 选 状态方程 系统能量 例：机械位移系统 选 能量随时间变化率 运动会停止吗？ 例：机械位移系统 选 能量随时间变化率 渐近稳定！ 李雅普诺夫第二法的基本思想 求出系统的能量函数（李雅普诺夫函数） ——标量函数。 求出能量随时间变化率 。 依据系统的状态方程考察能量函数在运动过程 中的变化规律。 利用 和 的符号特征，判断平衡状 态稳定性。 例 一个简单的RC一阶电路，判断稳定性。 R + C ? uc E S 解：选择电容电压uc为状态变量x1 渐近稳定！ 4.3.1 预备知识 在零平衡状态 的邻域内 正定 负定 1、标量函数的符号性质 半正定 半负定 不定 4.3.