现代控制理论-5-控制系统的李雅普诺夫稳定性-第8、9讲案例.ppt

令 的曲线积分与积分路径无关 的旋度 必须是对称阵 ▽ 与积分路径无关 令 为负定 验证V正定 设 2.变量梯度法步骤： 1 重新校验 是负的； 6 确定系统渐近稳定的范围。 注意：若利用这个方法造不出一个合适的李氏函数并不能说明系统是不稳定的。 5 计算并验证V正定性： 1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定 性概念； 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法； 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳 定性分析方法。 重难点内容： 李雅普诺夫函数的构造 线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别 教学要求： 李氏第二法的步骤： 1 构造一个正定的二次型函数V x ； 2 求 ，并代入状态方程； 3 判断 的定号性。 （4）V x 只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况。 （5）李氏第二法的难点在构造李氏函数，故仅适用于那些无法用其他方法判别稳定性的系统。 原点是唯一平衡点 例5.3.1 已知非线性系统的状态方程为： 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。 令 解: 设 则 负定 原点是渐进稳定的； 定理1 该系统是大范围渐进稳定的。 且 有 等能量轨迹 整个平面 几何意义： 例5.3.2 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 令 解: 原点是唯一平衡点 设 负半定 则 令 只有全零解 即非零状态时 定理3 原点是渐进稳定的； 该系统是大范围渐进稳定的。 且 有 由 定理2 例5.3.3 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。 令 解: 原点是唯一平衡点 设 则 正 负 半定性 例5.3.4 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 原点是唯一平衡点 设 则 正半定 令 在非零点不恒为零 则原点不稳定即系统不稳定。 令 解: 5.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 5.4.1 线性定常连续系统渐近稳定判据 1. 二次型标量函数 其中P是实对称方阵： 设x1，x2，…，xn为n个变量，定义二次型 标量函数为： 二次型标量函数 二次型函数的定义 定义：代数式中一种多项式函数，每一项的次数都是二次，则称该函数为二次型函数（标量函数）。 二次型函数的表示形式（以三阶系统为例） 代数式： 矩阵形式： 二次型的标准型：只含有平方项的二次型称为二次型的标准型。 可见，V x 正定的充要条件为： P的所有特征值均大于0。 为以原点为中心的球面。 当P I 有： P与 的符号性质相同。 为其各阶主子行列式： P符号性质的判别： 希尔维斯特判据） 设P是实对称方阵 （1）如 P（或 ）为正定的，即 （2）如 P（或 ）为负定的，即 （3）如 P（或 ）为半正定的，即 （4）如 P（或 为半负定的，即 ） 2 线性定常连续系统渐近稳定判据 --非奇异矩阵 设给定系统为 原点是唯一平衡状态 设选取如下的正定二次型函数 为李氏函数： 将 代入： 令 由渐近稳定性定理1，只要Q正定，则系统是大范围渐近稳定的。 定理：设线性定常连续系统为 对任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在一个正定实对称矩阵P满足： 为系统的一个李氏函数。 且 则平衡状态xe＝0为大范围渐近稳定的充要条件为: 分析思路： Q矩阵的取法: 1）单位阵； 2）Q取正半定 定理2 。允许单位矩 阵主对角线上部分元素为零。 选定正定矩阵Q 由 求P 判定P的正定性 稳定性结论 例5.4.1 系统状态方程为 试分析平衡点的稳定性。 由 解：1 选取 2 判断P的定号性 P正定，xe大范围渐近稳定。 解得 定理：设线性时变连续系统状态方程为 对任意给定的连续对称正定矩阵Q t ，必存在一个连续对称正定矩阵P t ，满足： 为系统的一个李氏函数。 且 则系统在平衡状态xe＝0处大范围渐近稳定的充要条件为: 5.4.2 线性时变连续系统渐近稳定判据 5.4.3 线性定常离散时间系统渐近稳定判据 设给定线性定常离散系统为 ： 对于任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在一个正定实对称矩阵P，满足： 则系统在平衡状态xe 0处渐近稳定的充要条件为: 为系统的一个李氏函数。 且 例5.4.1 设线性离散系统状态方程为 试分析系统在平衡点处渐近稳定的条件。 解：选取 5.4.4 线性时变离散系统渐近稳定判据 设给定线性时变离散系统的状态方程为 ： 对于任意给定的正定实对称矩阵Q k ，必存在一个正定实对称矩阵P k+1 ，满足： 则系统在平衡状态xe 0处为大范围渐近稳定的充要条件为: 为系统的一个李氏函数。 且 5.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用 稳定即大范围稳定 稳定判据为 充分必要 线性系统 稳定性只有局部性质 非线性系统 稳定判据只是充分条件 5.5.1 雅