李雅普诺夫稳定性分析.pdf

第4章 李雅普诺夫稳定性分析 1 一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一 个稳定的系统。 电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力 火箭飞行中保持航向为一定的能力等。 稳定性是控制系统的首要问题。 稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后，显然它 的平衡被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自 动地在平衡状态下继续工作。 2 分析一个控制系统的稳定性，一直是控制理论中 所关注的最重要问题。 对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系 统的稳定性判据。 A 、直接判定： SISO中，基于特征方程的根是否都分布 在复平面虚轴的左半部分，采用劳斯代数判据和奈魁斯 特频率几何判据。仅适用于线性定常，不适用于非线性 和时变系统。 B 、间接判定：方程求解－对非线性和时变通常很难。 3 1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的 博士论文“运动稳定性的一般问题” 中借 助平衡状态稳定与否的特征对系统或 系统运动稳定性给出了严格定义，提 出了解决稳定性问题的一般理论，即 李亚普诺夫稳定性理论。 该理论基于系统的状态空间描述法， 是对单变量、多变量、线性、非线性、 定常、时变系统稳定性分析皆适用的 通用方法，是现代稳定性理论的重要 基础和现代控制理论的重要组成部分。 4 控制系统的稳定性,通常有两种定义方式： 外部稳定性：基于输入-输出描述法描述系统的外部特 性, 经典控制理论中的稳定性一般指输出(外部)稳定 性;有界输入有界输出稳定。 内部稳定性：基于状态空间法不仅描述了系统的外部 特性,且全面揭示了系统的内部特性,因此, 借助平衡 状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态(内部 )稳定性。李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。 外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用 于线性系统，而且也适用于非线性系统。 对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两种定 义才具有等价性。 5 李亚普诺夫将判断系统稳定性的方法为两种： 第一类方法是将非线性系统在平衡状态附近线性化，然后 通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论 原非线性系统的稳定性问题。 这是一种较简捷的方法，与经典控制理论中判别稳定性方 法的思路是一致的。 该方法称为间接法，亦称为李雅普诺夫第一法。 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性, 而是基于能量的观点，通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的 标量函数来分析判别稳定性。 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性，所以第二种方 法称为直接法，亦称为李雅普诺夫第二法。 6 第4章 李雅普诺夫稳定性分析 4.1 李雅普诺夫稳定性概念 4.2 李雅普诺夫稳定性理论 4.3 李雅普诺夫方法在线性系统中应用 4.4 李雅普诺夫方法在非线性系统中应用 4.5 Matlab在李雅普诺夫应用 7 系统稳定性是动态系统一个重要的,可以用定量方法研 究和表示的定性指标。 它反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系统