李雅普诺与夫稳定性分析 .ppt

第五章 李雅普诺夫稳定性分析 第五章 李雅普诺夫稳定性分析 5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5. 3 李雅普诺夫第二法(直接法) 2. 定理9-11 (定常系统大范围渐近稳定判别定理1) 3. 定理9-12 (定常系统大范围渐近稳定判别定理2) 例5-4设系统状态方程为 5. 4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析(※) 定理9-14 ※ 线性定常系统 例9-41 （※） 设线性定常连续系统状态方程为 例5-6设系统为 例5-6（P509 例9-42）设系统为 4. 定理9-13 (不稳定的判别定理) 对于定常系统 ， 其中 如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，其中V(0)=0 ，和围绕原点的域Ω，使得对于一切 和一切 满足如下条件： 1） V(x)为正定； 2） 为正定； 则系统平衡状态为不稳定。 作为可能的李雅普诺夫函数。现在只需保证 是负定的，则根据定常系统大范围渐近稳定判别定理1，可断定系统是大范围渐近稳定的。 设线性定常系统为 A为非奇异矩阵。故状态空间的原点是系统的唯一平衡状态。通常可选取正定二次型函数 一、线性定常连续系统渐近稳定的判据 欲使 是负定函数，即要求矩阵Q是任意正 定矩阵。 根据定常系统大范围渐近稳定判别定理1，只要给定一个正定矩阵Q，李雅普诺夫矩阵代数方程： 有正定解P，系统就是大范围渐近稳定的。 推导V(x)对时间导数满足要求的条件： 令： 李亚普诺夫矩 阵代数方程 的原点平衡状态 为渐近稳定的充分必要条件是，对于任意给定的一个正定对称矩阵Q，李雅普诺夫矩阵方程 有唯一正定对称矩阵解P。 注意：使用中常选取Q阵为单位阵或对角阵。 解：令李雅普诺夫方程为 试用李雅普诺夫方程判断系统的稳定性。 则有： 得到3个线性方程： 由于 ，故P负定，则系统不是渐近稳定的。 得到： 解得特征值为： 有一个特征值具有正实部，故系统不稳定。 为了对比，下面用李亚普诺夫间接法判断： A是非奇异矩阵，故xe=0是系统的唯一平衡状态，且 根据系统大范围渐近稳定判别定理2可以推知，若系统任意的状态轨迹在非零状态不存在 恒为零时，Q阵可选择为正半定的，即允许Q取单位阵时主对角线上部分元素为零，而解得的P阵仍应正定。 试用李雅普诺夫方程确定系统渐近稳定的k值。 解：根据图中定义的状态变量，得到状态方程 x1 x2 x3 u - 因detA=-k≠0，A非奇异，故原点是系统的唯一平衡状态。 - 假定Q取为正半定矩阵 则 为负半定。 令 ，有 表明惟有原点使 ，故可以采用正半定Q来简化稳定性分析。 令李雅普诺夫方程： 得到以下6个线性方程： P为正定矩阵的充要条件是： 解得： 解得 0 k 6，系统渐近稳定。 据劳斯判据，确定保证系统渐近稳定的k值范围： 为了比较，用间接法判断： 故0 k 6时，所有特征值均具有负实部，系统稳定。 是系统的唯一平衡状态，且 定理（补充） 对于所选择的正半定矩阵Q，在{A,Q}完全可观测的条件下，即 系统为渐近稳定的充分必要条件是，李雅普诺夫方程有唯一正定解P。 试用李雅普诺夫方程确定系统渐近稳定的k值。 解：根据图中定义的状态变量，得到状态方程 x1 x2 x3 u - 因detA=-k≠0，A非奇异，故原点是系统的唯一平衡状态。 假定Q取为正半定矩阵 则 为负半定。 令 ，有 表明惟有原点使 ，故可以采用正半定的Q来简化稳定性分析。 检查{A,Q}的可观性： , {A,Q}完全可观测 故该正半定的Q可以采用。 令李雅普诺夫方程： 得到以下6个线性方程： P为正定矩阵的充要条件是： 解得： 解得 0 k 6，系统渐近稳定。 * 第5章 李雅普诺夫稳定性分析 稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。 描述系统的稳定性有两种方法： 外部稳定性：通过系统的输入—输出关系来 描述系统的稳定性。 内部稳定性：通