李雅普洛夫稳定性分析.ppt
文本预览下载声明
李亚普洛夫稳定性分析 系统运动稳定性的实质:自治系统平衡状态的稳定性。 它是偏离平衡状态的受扰运动能否仅依靠系统内部的结 构因素使之限制在平衡状态的有限领域内或使之最终返回 到平衡状态——系统偏差量过渡过程的收敛性。 2.2 状态向量范数 符号 称为向量的范数, 为状态向量端点至平衡状态向量端点的范数,其几何意义为“状态偏差向量”的空间距离的尺度,其定义式为: 3 李雅普诺夫判稳第一方法 李氏第一法判稳思路: (间接法) 1、线性定常系统-特征值判断 2、非线性系统-首先线性化,然后用线性化系统的特征值判断 令ΔX=X – Xe, 4 李雅普诺夫判稳第二方法 4 李雅普诺夫判稳第二方法 1)如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的,即 。那么随着系统的运动,其贮存的能量将随时间增长而衰减,直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。 2 )实际系统很难找到一个统一的能量函数。 3 )虚 构一个广义能量函数,称为李雅普诺夫函数(李氏函数),根据它和它的一阶导数的正负来判断系统稳定性。 4)第二法判稳的过程,只要找到一个正定的标量函数 ,而 是负定的,这个系统就是稳定的。而 就是李氏函数。 判据1:设系统的状态方程为 为其平衡状态, 如果有连续一阶偏导数的标量函数 存在,并且满足以下条件: 1) 是正定的。 2) 是负定的。 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 ,有 ,则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 判据2:设系统的状态方程为 为其唯一的平衡状态, 如果有连续一阶偏导数的标量函数 存在,并且满足以下条件: 1) 是正定的。 2) 是半负定的。 3)对任意初始时刻 时的任意状态 ,在 时,除了在 时有 外, 不恒等于零。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 ,有 ,则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 5.1 线性定常连续系统的稳定性分析 目的:将李氏第二法定理来分析线性定常系统 的稳定性 祝 各位同学工作学习开心! 4.3 二次型标量函数XTPX 如果 ,则称P为实对称矩阵。 1、二次型函数V(x): 1)二次型 为正定,或实对称矩阵P为正定的充要条件是P的所有主子行列式均为正,即: 则P为正定,即V(x)正定。 如果 2)二次型 为负定,或实对称阵P为负定的充要条件是P的主子行列式满足 ; ( i为偶数)i=1,2,3,…,n。 2、二次型函数V(x)正(负)定性判定:赛尔维斯特判据 说明:判据1是充分条件,判稳过程是寻找李氏函数V(x),如果没找到,不能判断系统不稳定,只是可能还没有找到而已。 4.4 稳定性判据 说明: 恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面 。 不恒等于零意味着仅在某个特定时刻,在某个点上和某个特定的曲面相切。 判据3:设系统状态方程为: 为其平衡状态。如果存在一个标量函数 ,它具有连续的一阶偏函数,且满足下列条件: 在原点的某一邻域内是正定的, 在同样的邻域内是正定的, 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。 令 ,得 是系统唯一的平衡状态。 2)选取李氏函数 选
显示全部