第5章 控制系统的稳定性分析 《现代控制理论基础》李先允课件.ppt

5.3.3 李亚普诺夫第二法 李雅普诺夫第二法的基本思想就是通过定义和分析一个在平衡态邻域的关于运动状态的广义能量函数来分析平衡态的稳定性。通过考察该能量函数随时间变化是否衰减来判定平衡态是渐近稳定，还是不稳定。 一、关于渐近稳定性 对于给定的系统，若可求得正定的标量函数 ，并使其沿轨迹对时间的全导数总为负定，则随着时间的增加， 将取越来越小的C值。随着时间的进一步增长，最终 变为零，而也趋于零。这意味着，状态空间的原点是渐近稳定的。 定理5－4 （渐近稳定性定理） 考虑如下非线性系统 （5－24） 式中 , 对所有 （5－25） 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 ，且满足以下条件： 1、 正定； 2、 负定 则在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。 3、进一步地，若 ， (径向无穷大)，则在原点 处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。 注意，若 不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个特定曲面 = C相切，然而由于 对任意 和任意 ，在 时不恒等于零，所以典型点就不可能保持在切点处（在这点上， =0），因而必然要运动到原点。 定理 5－5（稳定性定理） 考虑如下非线性系统 式中, 对所有 若存在具有连续一阶偏导数的标量函数 ，且满足以下条件： 1、 是正定的； 2、 是负半定的； 3、 对于任意 和任意 ，在 时，不恒等于零，这里， 表示在 时从 出发的轨迹或解 4．当 时有 则在系统原点处的平衡状态 是大范围渐近稳定的。 第5章 控制系统的稳定性分析 5.1 引言 一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统。 稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。 1892年，俄国学者李亚普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov，1857－1918)在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义，提出了解决稳定性问题的一般理论，即李亚普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法，是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法，是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。 李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法，即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。 李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系统，只需解出全部特征根即可判断稳定性；对非线性系统,则采用微偏线性化的方法处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性，故只能判断在平衡状态附近很小范围的稳定性。 李亚普诺夫第二法（简称李氏第二法或直接法）的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断。该方法建立在能量观点的基础上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着系统的运动，其储存的能量将随时间增长而不断衰减，直至 时系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量” 函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其稳定性，故又称为直接法，其最大优点在于对任何复杂系统都适用，而对于运动方程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性分析，则更能显示出优越性。