浅谈高中数学不等式证明方法.doc

浅谈高中数学不等式的证明方法 一．比较法 所谓比较法，就是通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系的方法，即通过“，，；或，，”来确定，大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。 例1 已知：，，求证：. 分析：两个多项式的大小比较可用作差法 证明 ， 故得 . 例2 设，求证：. 分析：对于含有幂指数类的用作商法 证明 因为 ， 所以 ，. 而 ， 故 二．分析法 从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。 例3：求证 证明： 为了证明原不等式成立，只需证明 即 ， 只需证明 成立 原不等式成立 运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途。 三．综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。 例4：已知，，求证： 证明：∵ ∴ 1= 　　 ∴ 　又 ∵ 　　 ∴ ． 四．反证法 从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。 反证法证明一个命题的思路及步骤： 1） 假定命题的结论不成立； 2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾; 3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的; 4） 肯定原来命题的结论是正确的。 例5：已知，求证：至少有一个小于等 分析：本题从正面考虑情况较多，可考虑选用反证法，“小于等于”的反面是“大于”“至少有一个”的反面是“一个也没有”。 证明：假设都大于，则 ∵ ∴ 根据平均值不等式，有 ，同理 ，显然矛盾.所以结论成立。 五．放缩法 放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。 例6：设、、是三角形的边长，求证 证明：由不等式的对称性，不妨设，则 且， ∴ ∴ 六．数学归纳法 对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立，那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立. 例7 已知：，，，求证：. 证明 （1）当时，，不等式成立； （2）若时，成立，则 =， 即成立. 根据（1）、（2），对于大于1的自然数都成立. 七．换元法 在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化. 例8： 已知：，求证：. 证明 设，，则， 所以 例9：已知，求证：。 本题在前面综合法中证明过，但观察到已知条件中的，可考虑用换元法，设. 证明：∵， (求证式中分母含) 可设，其中，其中， 于是： ∴当时，分子取最小值，分母取最大值. ∴ 八．利用均值不等式 均值不等式公式：①（当且仅当时取“”）； ②（当且仅当时取“”）。 均值不等式是高考中一个重要知识点，其变形多，约束条件“苛刻“（一正、二定，三相等）。 例10： 已知a，b，c为不全相等的正数，求证： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。 证明: ∵ b2+c2≥2bc, a0, ∴ a(b2+c2)≥2abc 同理，b(c2+a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, 又 因为a，b，c不全相等， 所以上述三个不等式中等号不能同时成立， 因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc。 例11.若，求证： 证明：因为所以 当且仅当，即时等号成立 九．导数法 当属于某区间，有，则单调递增；若，则单调递减.推广之，若证，只须证及即可. 例 12 证明不等 ， 证明 设则故当时，递增；当递减. 则当时， 从而证得 十．利用柯西不等式 设均为实数，则，当且仅当时成立. 例13.若，求证： 此题在前面用均值不等式解的，也可以用柯西不等式解答。 证明： 当且仅当，即时等号成