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高中数学不等式证明专题讲解

例1若0xl,证明|loga(l-x)||loga(l+x)](a0且awl).

分析1用作差法来证明.需分为al和0al两种情况，去掉绝对值符

号，然后较法证明.

解法1(1)当al时,

因为。1-xl,l+xl,

2

所以|lOga(l-刈-|k)ga(l+X)|=-lOga(l—X)-lOg/l+x)=-log(1-%)0.

fl

(2)当0al时，

因为。1-X1,1+X1

[U|log(l-x)|-|log(l+x)|=log(l-x)+log(l+x)=log(l-x2)0.

flaflflfl

综合(1)(2)|log(l-x)||log(l+x)|.

aa

分析2直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号.

解法2作差较法.

因为11呜(一)|—13(1+刈=|，I尺/

=]：—+=]：।lg(l--lg(l+x)]=I：—rlg(l-x2)0,

|lg4|lga||lg4

所以|bga(l-X)||lOg°(l+X)|.

abba

例2设a60,求证：abab.

证明：喏=

aib

•ab

•ab0?/.^-l,a-b0.(/fl.i.

一

abba

又,「a”。，/.abab..

例3对于任意实数a、b,求证《士以2（）4（当且仅当a=〃时取等号）

22

证明:Va2b2＞2ab（当且仅当时取等号）

+

4222

两边同加/（+b）:2/（+/）＞（+b）,