第6讲 常与微分方程基础 .ppt

第6讲 常微分方程基础 概述 微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。 1676年，莱布尼兹在给Newton（牛顿）的信中首次提到Differential Equations（微分方程）这个名词。 微分方程研究领域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、 Euler 、Taylor 、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。 微分方程理论发展经历了三个过程：求微分方程的解； 定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论。 方程的定义 微分方程的定义 常微分方程 　　　定义：自变量的个数只有一个的微分方程，称为常微分方程。 线性和非线性常微分方程 常微分方程的解 通解和特解 常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几个任意常 数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程 的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的通解。 常微分方程满足某个特定条件的解称为微分方程的特解。 练习题1 常微分方程的求解 分离变量法 一阶线性微分方程的常数变异法 常系数齐次线性微分方程的解法 常系数非齐次线性微分方程的解法 变量分离法 变量分离法的求解步骤(1) 变量分离法的求解步骤(2) 可化为变量分离方程的方程(1) 可化为变量分离方程的方程(2) 可化为变量分离方程的方程(3) 一阶线性微分方程的常数变异法 例 （2）非齐次线性方程 采用常数变易法求解 常系数齐次线性微分方程的求解 常系数非齐次线性微分方程的解法 * 参考书目 常微分方程,王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编,高等教育出版社 高等数学(第五版),同济大学应用数学系,同济大学出版社 1 代数方程(组)，其未知量为数 一元n次代数方程： 无理方程： 方程组： 2 超越方程（组），其含有超越函数 三角方程： 指数方程： 其特点：方程的解为实数（有限个或者无限个） 方程:含有未知量(数)的等式(或关系式)。例如: 代数方程(组)和超越方程(组)的未知量都是数(实数或复数) 3 函数方程（或泛函方程），其未知量为函数 其特点：方程的解为有限个或无穷多个函数。 　　由于方程的解为函数，一个函数又是主要由对应法则决定的，所以函数方程的表现形式往往比较复杂,除了有函数外,还要有表示对应关系的自变量,如上例中的t。 定义：包含自变量，未知函数以及未知函数的某些阶导数（或微商）的关系式，称之为微分方程 。 例 这些例子的共同特征是同一个函数关于同一个变量的各阶导数的关系式，这类微分方程称之为常微分方程 这个被称为常微分方程组 是函数方程，但不是微分方程 这两个例子是同一个函数关于多个变量的各阶导数的关系式，这类微分方程称之为偏微分方程 　　微分方程的阶 　　在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最 高阶数n称为该方程的阶。 当n=1时，称为一阶微分方程； 当n1时，称为高阶微分方程。 例如 一阶 二阶 如果常微分方程的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为线性常微分方程，否则，称它为非线性常微分方程。 例如： 线性，类似于高等代数中的 非线性，类似于高等代数中的 n阶线性微分方程的一般形式为： 其中 均为 的已知函数 如：2阶线性方程的一般形式 若将函数 代入方程后使方程有意义且“＝”成立 则称函数 为该方程的一个解. 例如，一阶微分方程 有解 即关系式 包含了方程的解。 例：二阶方程 其通解 而 是方程满足初始条件 解。 4 3 2 1 是否线性 阶数 常或偏 未知函数 自变量 微分方程 编号 　　一般情况下，只有具有下述形式或可转变为下述形式的微分方程才可使用变量分离法求解： 例如： 如果 (1) 分离变量 (2) 两边积分 …………(2.2) 用G(y)，F(x)分别表示 的某一个原函数 (3) 方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C 如果存在 直接验证得: ，使得 为方程(2.1)的常数解。 的解为 结论： 分离变量方程 解 1 分离变量 2 两边积分 3 例1 求解方程 （c 为任意正常数） 或者 求通解 解 时 (1) 分离变量 通解中，因而方程还有解 y = 0 （3） 求解方程 并求出满足初始条件：当 x = 0时 y = 1的特解。 例2 （c为任意常数） 为方程的通解。 注意 y = 0 时，也是方程的解，而其并不包含在 (2) 两边积分 求特解 将初始条件 y (0)=1代入通解中，得c = -1 则满足所给条件的特解为: 所以，原方程的解为 形式： 解法 （１） 作变量变换