微积分期末测试题及答案.docx
单项选择题(每小题3分,共15分)
设limf(x)?k,那么点x=a是f(x)的( ).
x?a
①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对
设f(x)在点x=a处可导,那么lim
f(a?h)?f(a?2h)?( ).
h?0 h
①3f?(a) ②2f?(a) ③f?(a) ④13
f?(a)
设函数f(x)的定义域为[-1,1],则复合函数f(sinx)的定义域为( ).
①(-1,1) ②???,??
③(0,+∞) ④(-∞,+∞)
设lim
x?a
?? 2 2??
f(x)?f(a)?1,那么f(x)在a处( ).
(x?a)2
①导数存在,但f?(a)?0 ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在
已知limf(x)?0及( ),则limf(x)g(x)?0.
x?x
0
x?x
0
①g(x)为任意函数时 ②当g(x)为有界函数时
③仅当limg(x)?0时 ④仅当limg(x)存在时
x?x
0
二填空题(每小题5分,共15分)
limx?sinx???.
1x??x?sinx
1
2.lim(1? )x?3???.
x???x
x?x
0
3.f(x)?
,那么左导数f?(0)???,右导数f?(0)???.
sinx2?
sinx2
三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)
1.lim( 1 ? 1 )
x?1
lnx x?1
??x?et,求d2y
?
?y?tet dx2
3.y?ln(x? 1?x2),求
dy和
d2y.dx2
由方程ex?y?xy?0确定隐函数y=f(x),求dy.
dx
设x
?1,x
?1? xn?1 ,求limx.
1 n 1?x
n?1
x?? n
lim(3x? ax2?bx?c)?2,求常数a,b.
x??
四证明题(每小题10分,共30分)
设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且lim
x???
f(?)???0 .
f(x)x
?lim
x???
f(x)x
?0,证明:存在??(??,??),使
若函数f(x)在[a,+∞]上可导,对任意x∈(a,+∞),有f?(x)?M,M是常数,则
lim f(x)?0.
x??? x2
证明函数y?sin1在(c,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.
x
答案
单项选择题(每小题3分,共15分)
1.④ 2.① 3.④ 4.③ 5.②
二填空题(每小题5分,共15分)
limx?sinx?
x??x?sinx
1
1_ .
2.lim(1? )x?3? e_.
x???x
sinx23.f(x
sinx2
,那么左导数f?(0)???-1 ,右导数f?(0)???1 .
? ?
三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)
??x?et,求d2y
?
?y?tet dx2
3.y?ln(x? 1?x2),求
dy和
d2y.dx2
4.由方程ex?y?xy?0确定隐函数y=f(x),求dy.
dx
5.设x?1,x ?1? x?1 ,求limx.
n
1 n 1?x
n?1
x?? n
6.lim(3x? ax2?bx?c)?2,求常数a,b.
x??
四证明题(每小题10分,共30分)
设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且lim
x???
f(?)???0 .
f(x)x
?lim
x???
f(x)x
?0,证明:存在??(??,??),使
若函数f(x)在[a,+∞]上可导,对任意x∈(a,+∞),有f?(x)?M,M是常数,则
lim f(x)?0.
x??? x2
证明函数y?sin1在(c,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.
x