第四章 复变函的级数44467.ppt

1. 数列、极限概念的引入 1. 复数序列的极限 1. 复变函数项级数 3. 幂级数的敛散性 6. 幂级数的性质 1. Taylor级数展开定理 1 问题的引入 2. Laurent级数展开定理 3. 函数的Laurent展开式 N. Abel 简介 主要内容 例3 解 例4 解 例4 解 上式两边逐项求导, 例5 解 例6 解 且 上节研究了如下的幂级数： 对于一般的函数项级数 应该可以取具有负幂的 ： §4 Laurent(洛朗)级数 负幂项部分 正幂项部分 主要部分 解析部分 同时收敛 Laurent级数 收敛 收敛半径 收敛域 收敛半径 收敛域 两收敛域无公共部分, 两收敛域有公共部分 R 结论: . 常见的特殊圆环域: . . . 任一幂级数，如果收敛，必在圆域内 收敛，且和函数在圆域内解析。 已知：如果Laurent级数收敛，必在圆环域内收敛，且和函数在圆环域内解析。 问题：在圆环域内解析的函数是否可以展开成Laurent级数? 幂级数的特征： (2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数。 C为圆环域内绕 的任 称cn为Laurent系数. 定理 一正向简单闭曲线. 证明： 对于第一个积分: R r . z . . 分析： 收 敛 极限为0 对于积分: R r . z . . 注意到 如果C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单 闭曲线 . 则 可用一个式子表示为: 则 Laurent级数展开式必是唯一的 假设Laurent级数还有另一展开式为： 故 区域为圆盘有泰勒展式，为圆环则有洛朗展式。 泰勒展开式是洛朗展开式的特殊情形 (1) 直接展开法 利用定理公式计算系数 然后写出 根据Laurent级数展开式的唯一性, 运用代换、求导和积分等方法去展开 . (2) 间接展开法 例如， 都不解析, 而在圆环域 及 内都解析. 也可以展开成级数： Laurent展开式是唯一的. 唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的 例1 解 由已知函数 的展开式 可以直接得到 例2 内解析, 把 f (z) 展成Laurent级数. 解 o x y 1 1 2 o x y 由 证明： 则由Abel定理, 而这与推论矛盾， (得证) (1) 对任意的复数都收敛. 由Abel定理: 级数在复平面内绝对收敛. 例如, 级数 对任意给定的 z , 则从某个n开始, 有 于是 该级数对任意的实数 z 均收敛. 该级数在复平面内绝对收敛. (2) 对任意的复数(除 z = z 0外) 都发散. (3) 既存在使级数发散的复数, 也存在使级数收 敛的复数. 通项nnzn不趋于零, 例如, 级数 级数发散. 由函数收敛的必要条件, 由Abel定理，级数在 . . 收敛圆 收敛半径 . . 由Abel定理的推论，级数在 在收敛圆上是收敛还是发散, 要对具 体级数进行具体分析. 级数对于任意复数都发散时, R=0 级数对于任意复数都收敛时, R=∞ 定义： 注意： 约定： 5. 收敛半径的计算方法 方法1 (比值法) 方法2 (根值法) 例1 试求幂级数 (p为正整数)的收敛半径. 解 =1 例2 级数 的收敛半径， 并讨论它们在收敛圆上的敛散性。 解： 根据比值法，三个级数都有 由于 令z=cosj+isinj, 则 故 在收敛圆周上无收敛点; 故 在收敛圆上处处收敛； 则 内解析. 设幂级数 的收敛半径为R, 例3 求 的和函数. 解 收敛范围为一单位圆域 且有 在此圆域内, 绝对收敛, 收敛半径为1, 级数 收敛, 级数 发散. (2) 解 (1) 例4 求下列幂级数的收敛半径: (1) (2) (3) (4) 故 (3) 所以 (4) 解: 把函数 写成如下的形式: 其中，a与b是不相等的复常数 . 例5 把函数 表成形如 的幂级数 级数收敛, 且其和为 z = b时，级数发散 由Abel定理，级数在 故级数的收敛半径为 例6 求级数 的收敛半径与和函数. 解 利用逐项积分, 得: 所以 例7 求级数 的收敛半径与和函数. 解 定理 z0到边界上各点的最短距离为d, 设f(z)在区域D内解析，z0为D内一点， 时,f(z)可以展开成幂级数 当 其中 . d §3 Taylor(泰勒)级数 d . . 内任意点 证明： C . 在D内任 取一点z0， z0到边界的最短距离为d， r为半径作一圆周， 以z0