第四章 级数 1.ppt

第四章 级数 一、复数列的极限 二、复数项级数 §4.1 复级数 三、复变函数项级数 一、复数列的极限 称 为复数列, 简称数列， 记为 收敛于复数 ，记作 复数列收敛与实数列收敛的关系 定理1.1 的充要条件是 其中 二、复数项级数 为复数项级数。 为该级数的前 n 项部分和. 称 记 如果级数 级数收敛与发散的概念 的部分和数列 收敛, 则称级数收敛，这时若 收敛于 ，则称 为级数的和； 如果 不收敛，则称级数发散. 复数项级数与实数项级数收敛的关系 定理1.2 级数 收敛的充要 条件是 都收敛. 说明 复数项级数的收敛问题可转化为 两个实数项级数的收敛问题。 例1 级数收敛的必要条件 定理1.3 如果级数 收敛, 则 重要结论: 发散. 于是在判别级数的敛散性时, 可先考察 ? 定义　设 是复数项级数, 如果正项 级数 收敛, 则称级数 绝对收敛. 若 发散，而 收敛，则称级数条件收敛. 级数收敛的充分条件 定理1.4 若级数 收敛, 则级数 也收敛. 例2 为复变函数项级数. 为该级数前n项的部分和. 设 是定义在区域D上的复变函数列, 称 三、复变函数项级数 1、相关定义 称为该级数在区域D上的和函数. 如果对 级数 收敛, 即 则称级数 在 点收敛, 且 是级数和. 如果级数 在D内处处收敛, 则称其在 区域D内收敛. 此时级数的和是函数 的函数项级数称为幂级数. 的特殊情形 形如 定理1.5 (Abel定理)　若级数 在 处收敛，则当 时, 级数 绝对收敛; 若级数 在 处发散，则当 时, 级数 发散. 2、幂级数的敛散性 (2) 在整个复平面上处处收敛. (3) 在 内部绝对收敛，在 外部发散. ( 且这里不细分 上级数的敛散情况) (1) 只在 处收敛. 由 , 幂级数 收敛情况有三种: 称为收敛圆周； 上述前两种情形的收敛半径, 分别规定为 称为收敛圆； 称为收敛半径； 幂级数 的收敛半径的计算方法 法一： (比值法)　 法二： (根值法)　 例3 求下列级数的收敛半径： 例4 求级数 的收敛半径与和函数. 性质1 设级数 和 的收敛半径 分别为 和 则在 内, 3、幂级数的性质 性质2 设级数 的收敛半径为 r. 如果在 内, 函数 解析, 并且 则当 时, 说明: 上述运算常应用于将函数展开成幂级数. 前面关于级数 的性质, 如果将 换成 之后, 对于级数 当然也成立. 性质3 设幂级数 收敛半径为R， (1) 是收敛圆内的解析函数. 它的和函数为 ，则 (2) 在收敛圆内可逐项求导，即 (3) 在收敛圆内可逐项积分，即 作业：P67 习题四 4.2 （1）（2） 4.3 （1）（3） * *