新课标高三数学-第一轮复习单元讲座第26讲 平面向量的数量积及应用.doc

第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 13 页 普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座26）—平面向量的数量积及应用 一．课标要求： 1．平面向量的数量积 ①通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系； ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2．向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 二．命题走向 本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。 平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。 预测07年高考： （1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。 （2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质； 三．要点精讲 1．向量的数量积 （1）两个非零向量的夹角 已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角； 说明：（1）当θ＝０时，与同向； （2）当θ＝π时，与反向； （3）当θ＝时，与垂直，记⊥； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0?≤?≤180?。 C C （2）数量积的概念 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。规定； 向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影； （3）数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积。 （4）向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系：。 ②乘法公式成立 ； ； ③平面向量数量积的运算律 交换律成立：； 对实数的结合律成立：； 分配律成立：。 ④向量的夹角：cos==。 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。 （5）两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量，则·=。 （6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。 两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。 （7）平面内两点间的距离公式 设，则或。 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)。 2．向量的应用 （1）向量在几何中的应用； （2）向量在物理中的应用。 四．典例解析 题型1：数量积的概念 例1．判断下列各命题正确与否： （1）； （2）； （3）若，则； （4）若，则当且仅当时成立； （5）对任意向量都成立； （6）对任意向量，有。 解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。 点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零。 例2．（1）（2002上海春，13）若、、为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（ ） A． B． C．m（）=m+m D． （2）(2000江西、山西、天津理，4)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①（·）－（·）= ②||－|||－| ③（·）－（·）不与垂直 ④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析：（1）答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向。 （2）答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立。故④真。 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。 题型2：向量的夹角 例3．（1）（06全国1文，1）已知向量、满足、，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． （2）（06北京文，12）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是 。 （3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。 （4）（2005北京3）| |=1，| |=2，= +