《二次函数区间根.doc

第七讲 二次方程根的分布 一．知识要点 二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究． 若在内研究方程的实根情况，只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况． 若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定． 1．二次方程有且只有一个实根属于的充要条件 若其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根． 若不是二次方程的根，二次函数的图象有以下几种可能： （1） 　　　 （2） （3） （4） 由图象可以看出，在处的值与在处的值符号总是相反，即；反之，若，的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论： 若都不是方程的根，记，则有且只有一个实根属于的充要条件是． 2．二次方程两个根都属于的充要条件 方程的两个实根都属于，则二次函数的图象与轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于小于，它的图象有以下几种情形： （1） （2） （3） （4） 由此可得出结论： 方程的两个实根都属于区间的充要条件是： 这里 ． 同理可得出： 3．二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于，另一根大于）的充要条件是： 这里． 4．二次方程的两个实根都在的右侧的充要条件是： 二次方程的两个实根都在的左侧（两根都小于）的充要条件是： 这里． 二．例题选讲 例１．设关于的方程R）， （1）若方程有实数解，求实数b的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。 例２．已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程f(x)=x无实根，求证：方程f[f(x)]=x也无实根． 例３．设，，若，求实数的取值范围． 已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围． 例４．已知方程有两个负根，求的取值范围． 例５．求实数的范围，使关于的方程． （１）有两个实根，且一个比２大，一个比２小． （２）有两个实根，且满足． （３）至少有一个正根． 例 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 已知方程2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围． 例已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围． 如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围. 例已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围． 二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用．下面再举两个例子： 例求函数y = (1x2)的值域． 例已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围． 三．巩固练习 1．已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围． 2．已知方程在上有两个根，求的取值范围． 3．已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范围． 4．已知二次方程的两个根都属于（–1，1），求的取值范围． 5．若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间[0,2]上，求实数a的取值范围． 6．二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0, 其中m0,求证 (1) pf()0; (2) 方程f(x)=0在(0，1)内恒有解。 例１．分析：可用换元法，设，原方程化为二次方程，但要注意，故原方程有解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解．另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于的方程有解，则的值域． 解：（1）原方程为， ， 时方程有实数解； （2）①当时，，∴方程有唯一解； ②当时，. 的解为； 令 的解为； 综合①、②，得 1）当时原方程有两解：； 2）当时，原方程有唯一解； 3）当时，原方程无解。 例２．证明：方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0无实根，f(x)-x仍是二次函数，f(x)-x=0仍是二次方程，它无实