第六章 多元函数积分学.doc

2009智轩考研数学创高分红宝书系列高等数学 PAGE PAGE 254 第六章 多元函数积分学 2008考试内容 (本大纲为数学1，数学2-4需要根据大纲作部分增删) 二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系 格林（Green）公式 平面曲线积分与路径无关的条件 二元函数全微分的原函数 两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯（Gauss）公式 斯托克斯（Stokes）公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分的应用 2008考试要求 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 掌握计算两类曲线积分的方法。 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。 了解散度与旋度的概念，并会计算。 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）。 陈氏第13技（独家技巧） 关于平面积分（二重积分）和空间积分（三重积分、二类曲线积分和两类曲面积分）共六类积分的方法和技巧。 后积先定常数限； 先积方向正直穿。 相交必须同一线； 否则域内要分拆。 隐含边界辅助线； 极坐标逆弧圆。 多种曲线同园拆； 六大对称记心间。 三重积分切穿影； 曲线曲面入路径。 闭线闭面高托格； 开线开面三补全。 开面锐正闭面外； 正规区域一项算。 极柱球系雅换元； 六类积分谙转换。 第一节 多元函数积分学之一（平面积分或二重积分） 三基层面及其拓展 1、性质与定理 ①比较定理 ②估值定理 分别为在闭区域上的最大与最小值，为的面积，则 ③中值定理 ● 在上连续，则 ● 在上连续，则 ④几何意义 等于以为底，以为顶的曲顶柱体的体积。 2、二重积分的六大对称性 如果积分区域具有轴或点对称（令表示的一半区域，即中对应部分，余类推），被积函数同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住下列六类对称性定理。 关于轴对称（关于轴对称类推） ②关于都对称 ③关于原点对称 ④当和关于某一直线对称，对同一被积函数，则 ⑤关于轴对称 ⑥ 万能轮换对称性 适合六类积分。 ● 轮换对称性概念 如果将与及交换，即 , ，后，积分区域方程不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。 ● 当区域具有轮换时，被积函数变量轮换后积分值不变。如 区域关于轮换，则 区域关于轮换 实 例 3、二重积分次序选择原则 ①先看积分区域的边界方程，那个变量幂次高，就后积此变量； 【例1】计算 由所围。 解：幂次高，所以先积 ②若被积函数只有一个变量，就后积此变量； 【例2】，D由所围。 解：被积函数只有一个变量，先积 ③积分次序一般以尽可能不拆分区域（即为正规区域）为基准。 4、二重积分次序的更换方法陈氏穿线法【原创】 后积先定常数限， 先积方向正直穿； 相交必须同一线， 否则域内要分拆； 隐含边界须周全， 6类对称挂耳边； 极坐标逆弧线， 多种边界同园拆。 5、换元法技巧 以尽可能简便为出发点，再参考的特征。如球对称用球坐标，锥体用柱坐标等，微分元换算利用雅可比行列式。 其中雅可比矩阵 6、莱布尼茨关于变限积分的求导公式 二、重要题型与解法秘诀 【例3】: : 解：为偶函数数，关于都对称，正好是的，故 【例4】计算 解：（1） 关于对称 关于都是奇数 （2）关于原点对称，为偶函数，故 = 【例5】 更换积分次序 解： 及 作图形，得： 【例6】 交换积分次序 解： 画出图形，得： 【例7】更换积分次序 解： 【例8】更换积分次序 解