第六章一元函数积分学(x).doc

思考与练习 6-1 1. 回答下列问题: ① 定积分作为积分和的极限,能否表示为? 答：不能.因为并不能推出. ② 积分和的值与哪些因素有关?定积分的值与哪些因素有关? 答：与函数，区间和区间的分割和取的点有关。只与函数和区间有关. ③ 将区间等分,,积分和 是否为定值? 答：不是.因为和还与的取法有关. ④ 在定积分的定义给出之前,如下说法是否合理?为什么?“曲边梯形”, 的面积不大于矩形的面积,其中. 答: 不合理.因为在定积分定义给出之前,曲边梯形的面积没有定义,当然也就不能与矩形的面积比较大小. ⑤ 是什么意思?当时,积分和的极限是是什么意思? 答：，表示对区间分割后最大的区间的长度都趋于0. 设是定义在上的一个有界函数,是一个确定的实数.若对任给的正数,总存在某一正数,使得对的任何分割,以及在其上任意选取的点集,只要,就有 , 则称函数在区间上可积或黎曼可积;数称为在上的定积分或黎曼积分,记作 . 2. 按定积分定义证明:. 证明：，对作任意分割，并在其上任意选取点集，因为 , 对任意的,任意取定，当时,有 , 所以函数在上可积，且 3. 通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集,把定积分看作是对应的积分和的 极限,来计算下列定积分: ①； ②, 提示:; . 解 ①将等分，分点为，.在区间上取作为 而 . ②取后 将等分，分点为，.在区间上取作为则 4. 已知一质量不均匀分布的棒的线密度,长为,试求该棒的质量. 解：所求质量为： 思考与练习 6-2 计算下列积分: ①; ②; ③; ④; ⑤; ⑥; ⑦. ⑧; ⑨; ⑩ . 解①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩ 。 利用定积分求极限: ① ; ② ; ③ ; ④ . 解 ①记，则在上连续且可积，取 ,，则 . ② 记，，则在上连续，所以可积，取 ,.则 . ③ 记，，则在上连续，所以可积.取 ，.则 . ④ 记，，则在上连续，所以可积，取 ，，则 3. 设为二次多项式,满足,且.求. 解 设,由条件可得:.又的导数等于,故由牛顿-莱布尼茨公式可得,联立解方程可得结论. 4. (推广的牛顿-莱布尼茨公式)证明:若在上可积,在上连续,且除有限个 点外有,则 . 证 作区间的分割,使不成立的点全在上述分点中.所以,,且在上连续.由拉格朗日中值定理知,存在,使得 , 由此推得 , 于是 . 思考与练习 6-3 1. 可积函数类与连续函数类之间有什么关系? 答：在区间上连续的函数则一定在该区间可积，但可积函数不一定是连续函数。 2. 请指出哪几种函数类是可积的?确定一个函数的可积性,能给计算定积分带来怎样的方便? 答：定理6.3.2 若是上的连续函数,则在上可积. 定理6.3.3 若是区间上只有有限个间断点的有界函数,则在上可积. 定理6.3.4 若是区间上的单调函数,则在上可积. 至少有如下两种方便： 一是如果已知函数可积，则用定义求定积分时，可对区间作特殊分割，使积分和的表达式比较简单，这样易于求和，从而易于求出要求的定积分； 二是如果已知函数可积，则可设法找到满足条件，从而可用牛顿—莱布尼茨公式求定积分。 3. 举例说明:性质2、5和6的逆命题不成立. 解 （1），故和函数在任何有限区间上可积，但和在任何区间上都不可积（其中为狄利克雷函数） （2），但在区间上并非恒大于零。 （3）则由定积分的定义可知，在区间上不可积，但，当然在区间上可积。 4. 下列函数在其定义域上是否可积,为什么? ①② ③. 答： （1）可积。因为函数在区间上有界，且只有两个间断点。 （2）可积。因为函数在区间上有界，且只有一个间断点。 （3）可积。因为函数在区间上有界，且只有100个间断点。 5. 不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: ① 与 ; ② 与 . 解 ① 在上, ② 在上, , 6. 证明下列不等式: ① ; ② ; ③ ; ④ . 证明：① 原式化为 当时, ，， ； ② 原式可化为，当时, ，； ③由第五章第4节习题9的结论知，当时，，所以有 ； ④ 当时，，所以，而 。 7. 设在上连续,且不恒等于零,证明. 证明：因为在是连续在上连续，且, . 又因为不恒等于零，即，使，由连续函数的局部保不等式性知，存在，当时，，可得 。 8. 设与在上可积,证明,在上也可积. 证明：因为， 。 由,在上可积在上可积, 在上也都可积. 9. 试求心形线上各点极径的平均值. 0图6.3