newch线性代数方程组的数值解法-公开课件（讲义）.ppt

例3.10 分别用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解 线性方程组 解 高斯-塞德尔迭代 雅可比迭代 令 取四位小数迭代计算 由雅可比迭代得 由高斯-塞德尔迭代得 相应的迭代公式为 3.4.2 迭代法的收敛性 定义 3.2 设 n 阶线性方程组 的精确解为 x* 相应的一阶定常迭代格式为 如果其迭代解 收敛于精确解 ，即 则称迭代格式（3-26）收敛 命题 3.2 记 的充分必要条件为 定理 3.5 若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵 满足条件 则该迭代格式对任何初始向量 均收敛。 证 定理得证。 相减得 则该迭代格式对任何初始向量 均收敛。 定理 3.6 若一阶定常迭代格式（3-26）的迭代矩阵 满足条件 定理 3.7 若雅可比迭代法的迭代矩阵 满足条件（3-28）或（3-29），则雅可比迭代法与相应的高斯-塞德尔迭代法对任何初始向量 均收敛。 推论 如果线性代数方程组 A x = b的系数矩阵 A 为严格对角占优矩阵，即 则相应的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法对任何初始向量 均收敛。 定理 3.8 一阶定常迭代格式 对任何初始向量均收敛的充分必要条件为其迭代矩阵的谱半径小于1，即 这里 为 M 的特征值 定理 3.9 若线性方程组（3-1）的系数矩阵A对称正定，则相应的高斯-塞德尔迭代法必收敛。 3.4.3 迭代法的应用说明 (1) 若系数矩阵非严格对角占优，采用等价变换使之约化为系数矩阵严格对角占优的线性方程组，然后用雅可比迭代法或高斯-塞德尔迭代法求解。 (3) 在实际计算时，由于无法知晓 x* ，因此计算的终止原则通常近似地采用以下条件关系式 (2) 特殊情况可特殊处理，以减少工作量。 谢谢！ （2）用全主元高斯-若当消去法 故得解为 （3）用列主元高斯消去法 回代解得 3.3 解线性方程组的矩阵分解法 一、 非对称矩阵的三角分解法 对于给定的线性方程组 矩阵分解法的基本思想是： （1） 分解 可逆下三角矩阵 可逆上三角矩阵 显见S是一个可逆的下三角阵 ——解两个三角形方程组。 Crout分解（以四阶为例） 2.利用三角分解法解方程组 例1. 试用克洛特分解法解线性方程组 例2 试用克洛特分解法解线性方程组 解 3.3.2 解三对角型线性方程组的追赶法 1.用LU分解矩阵A 3.3.3 对称正定矩阵的三角分解 定义 3.1 若n 阶方矩阵 A 具有性质 且对任何n 维向量 成立 ，则称 A 为对称正定矩阵。 定理3.4 若A 为对称正定矩阵，则 (1) A的k阶顺序主子式 (2)有且仅有一个单位下三角矩阵L和对角矩阵D 使得 （3-16） 这称为矩阵的乔里斯基（Cholesky）分解。 (3)有且仅有一个下三角矩阵 ，使 （3-17） 这称为分解矩阵的平方根法。 （1）首先由A 对称正定知 且对任何k维非零向量 故 为 k 阶对称正定矩阵，所以 由惟一性得 证 以下推导平方根法和乔里斯基分解法的计算公式。 由此可建立平方根法的递推计算公式如下： 类似地，由 得 从而可建立乔里斯基分解法的递推计算公式为 对于 依次计算 例 3.7 试分别用平方根法和乔里斯基分解法分解矩阵 (1) 解 把平方根法应