高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案.pdf

高等数学课后答案

习题1-1

1.设/=(—叫―5)d(5,+oc),5=[—10,3),写出/u5/c氏及心(43

的表达式.

解AuB=(—8,3)d(5,+8),

/c5=[—10,—5),

oo,—10)°(5,+8),

A\(A\B)=[-10,-5).

2.设N、8是任意两个集合，证明对偶律

证明因为

x(An5)cxxx^A或x史BoxeAcxeBcxeAc

jBc,

所以(/小8产=屋。屋.

3.设映射匕/uY,AzX.证明

(1次AuB)次A)u戒B);

证明因为

y^AjB)^3xEA^)B,使於)可

0(因为xe/或⑷或ye/⑹

所以AAuB)=f(A)/B).

(2)因为

yef(Ar}B)^BxeAr}B,使/(%)=yo(因为xe/且且

歹』5)-ye)q/(B),

所以大

4.设映射/：4匕若存在一个映射g：yfx,使g。片小，/°g=4,其

中与、人分别是X、上的恒等映射，即对于每一个％eX,有对于

每一个理匕有/次可.证明:/是双射，且g是/的逆映射:g=/i.

证明因为对于任意的yey,有4g(y)eX,且4工)，痣3)]=4产丁，即丫

中任意元素都是x中某元素的像，所以/为x到的满射.

又因为对于任意的％1内2,必有1A%1)可(x2),否则若

1A%i)W；%2)ng[IA%D]=g[/(%2)]n%1=%2.

因此/既是单射，又是满射，即/是双射.

对于映射g：yfX,因为对每个yeY,有g(y)=xeX,且满足

»=/[g(y)]=4^，按逆映射的定义,g是/的逆映射.

5.设映射/:XTY,/uX.证明：

(1厂13))=比

(2)当/是单射时，有/1优4))=4.

证明(1)因为xeA=於)可w儿4)=/一七)二%6厂1(/(4)),

所以/(/(/)口4

(2)由⑴知尸伉4))2.

另一方面，对于任意的XGr1(/(4))=存在ye/⑷，使/i(y)=%43)=

因为儿4)且/是单射，所以％64这就证明了尸优4))3.因此/

一加))=/.

6.求下列函数的自然定义域：

(l)-=j3x+2；

解由3%+220得x〉g函数的定义域为[1,+孙

Q)T；

解由1—fwO得用±1.函数的定义域为(_叫一1)5-1,l)u(l,+°°)-

⑶T-病己

解由0且l-x20得函数的定义域D=[-l,0)50,1].

(4f；

解由4-%2〉0得|x|2.函数的定义域为(-2,2).

(5)y=sin«；

解由隹0得函数的定义。=[0,+8).

(6)j=tan(x+l);

解由(左=0,±1,±2,・・・)得函数的定义域为冲碗+91(旌0,±19±2

(7)j=arcsin(Jc-3);

解由|x-3区1得函数的定义域。=[2,4].

(8)y=y/3-x+arctan—j

解由3-x0且得函数的定义域0=(-*0)5。,3).

(9)产ln(x+l);

解由x+l0得函数的定义域D=(-l,+00).

(10)j=ei.

解由得函数的定义域Z)=(-oo,0)u(0,+00).

7.下列各题中，函数)和8(%)是否相同？为什么？

(i(xlgx2,g(x)=21gx;

(2)/(x)=%,g(%)=斤；

(3)/(%)=Vx4-X3,g(x)=xy/x-.

(4)/(%)=1,g(x)=sec2x-tan2x.

解(1)不同.因为定义域不同.

(2)不同.因为对应法则不同,x0吐g(x)=-x.

(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.

(4)不同.因为定义域不同.

nX