同济第六版高数答案解析(高等数学课后习题解答).doc

WORD文档 可编辑 技术资料 专业分享 习题3?3 1? 按(x?4)的幂展开多项式x4?5x3?x2?3x?4? 解 设f(x)?x4?5x3?x2?3x?4? 因为 f(4)??56? f ?(4)?(4x3?15x2?2x?3)|x?4?21? f ??(4)?(12x2?30x?2)|x?4?74? f ???(4)?(24x?30)|x?4?66? f (4)(4)?24? 所以 ??56?21(x?4)?37(x?4)2?11(x?4)3?(x?4)4? 2? 应用麦克劳林公式? 按x幂展开函数f(x)?(x2?3x?1)3? 解 因为 f ?(x)?3(x2?3x?1)2(2x?3)? f ??(x)?6(x2?3x?1)(2x?3)2?6(x2?3x?1)2?30(x2?3x?1)(x2?3x?2)? f ???(x)?30(2x?3)(x2?3x?2)?30(x2?3x?1)(2x?3)?30(2x?3)(2x2?6x?3)? f (4)(x)?60(2x2?6x?3)?30(2x?3)(4x?6)?360(x2?3x?2)? f (5)(x)?360(2x?3)? f (6)(x)?720? f(0)?1? f ?(0)??9? f ??(0)?60? f ???(0)??270? f (4)(0)?720? f (5)(0)??1080? f (6)(0)?720? 所以 ?1?9x?30x3?45x3?30x4?9x5?x6? 3? 求函数按(x?4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式? 解 因为 ? ? ? ? ? 所以 (0???1)? 4? 求函数f(x)?ln x按(x?2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式? 解 因为 f ?(x)?x?1? f ??(x)?(?1)x?2? f ???(x)?(?1)(?2)x?3 ? ? ? ? ? ? (k?1? 2? ? ? ?? n?1)? 所以 ? 5? 求函数按(x?1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式? 解 因为 f(x)?x?1? f ?(x)?(?1)x?2? f ??(x)?(?1)(?2)x?3 ? ? ? ? ? ? (k?1? 2? ? ? ?? n)? 所以 (0???1)? 6? 求函数f(x)?tan x的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式? 解 因为 f ?(x)?sec2x? f ??(x)?2sec x?sec x?tan x?2sec2x?tan x? f ???(x)?4sec x?sec x?tan2x?2sec4x?4sec2x?tan2x?2sec4x? f (4)(x)?8sec2x?tan3x?8sec4x?tan x?8sec4x?tan x? f(0)?0? f ?(0)?1? f ??(0)?0? f ???(0)?2? 所以 (0???1)? 7? 求函数f(x)?xex 的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式? 解 因为 f ?(x)?ex?xex? f ??(x)?ex?ex?xex?2ex?xex? f ???(x)?2ex?ex?xex?3ex?xex? ? ? ?? f (n)(x)?nex?xex; f (k)(0)?k (k?1? 2? ? ? ?? n)? 所以 ? 8? 验证当时? 按公式计算ex的近似值时? 所产生的误差小于0?01? 并求的近似值? 使误差小于0?01? 解 因为公式右端为ex的三阶麦克劳林公式? 其余项为 ? 所以当时，按公式计算ex的