§2.矩阵的秩.ppt

* §2. 矩阵的秩 ★矩阵的秩的定义 ★矩阵的秩的计算 下页 关闭 矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数是否唯一 ?其行数由什么决定? 定义2 在 m×n 矩阵 A 中任取 k 行、k 列（k ≤ m , k ≤ n ），位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式。 m×n 矩阵A 的 k 阶子式共有CmkCnk个。 定义2 设在矩阵A 中有一个不等于0的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果有的话）全等于0，那么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作R ( A ) = r 。规定零矩阵的秩等于 0 。 上页 下页 返回 （3）对于任何m×n 矩阵A，都有唯一确定的秩，且R（A）≤min(m, n)； （4）若矩阵A 中有一个r1 阶子式不为零，则 R（A）≥ r1 ；若矩阵A 的所有r1 ＋1阶子式全等于零，则R（A）≤ r1 。 （2）A 的转置矩阵AT 的秩R (AT ) = R ( A )； 由定义可知: (1) 矩阵A 的秩 R ( A ) 就是 A 中不等于 0 的子式的最高阶数； 上页 下页 返回 上页 下页 (5) 对于 n 阶可逆矩阵A ，有 |A| ≠ 0 = R(A) = n = A 的标准形为 n 阶单位阵E 可逆阵又称为满秩矩阵。奇异阵又称为降秩矩阵。 例1 求矩阵A 和B 的秩，其中 解 在A 中，容易看出左上角一个2阶子式 A 的 3 阶子式只有一个|A|，经计算可知|A| = 0，因此R（A）=2。 上页 下页 返回 B是一个阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，即知B 的所有4 阶子式全为零，而 3 阶子式 因此R（B）= 3 。 上页 下页 返回 从本例可知，由矩阵A 的秩的定义求秩，关键在于找 A 中不等于 0 的子式的最高阶数。 一般当行数与列数都较高时，按定义求秩是很麻烦的。 对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的行数。 因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？ 上页 下页 返回 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限 次初等行变换矩阵的秩也不变。 上页 下页 返回 定理1 若A～B，则 R（A）= R（B）。 定理1说明：矩阵经初等变换后其秩不变，因而把 矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非 零行的行数即为所求矩阵的秩。这是求矩阵秩的一种常 用方法。 证明:略 注1 注2 求矩阵 的秩。 解 可见R（B）= 2 ， 所以R（A）= 2 。 例2 上页 下页 返回 例3 求矩阵A的秩，并 求A 的一个最高阶非零子式。 解 先求A 的秩，为此对A 作初等行变换变成行 阶梯形矩阵： 上页 下页 返回 上页 下页 返回 上页 下页 返回 易见R（B）=R（A）= 3 。 上页 下页 返回 再求A 的一个最高阶非零子式。 因R（A ）= 3 ，知A 的最高阶非零子式为 3 阶。 A 的 3 阶子式共有 要从 40 个子式中 找出一个非零子式，是比较麻烦的。 考察A 的行阶梯 形矩阵，记 则矩阵 的行阶梯形矩阵为 上页 下页 返回 中必有 3 阶非零子式。 3 阶子式有 4 个，在 中找一个 3 阶非零子式比在 A 中找要方便得多。 的前三行构成的子式 因此，这个式子便是A 的一个最高阶非零子式。 上页 下页 返回 注：A 的最高阶非零子式不一定唯一。事实上， 从上例中还可以找到很多非零的 3 阶子式。 由矩阵的秩的定义，可以进一步得到如下结论： 设矩阵A 中有一个 r 阶子式 而所有包含 r + 1 阶子式（如果有的话）全为 0 ，则A 中所有r + 1 阶子式全为 0 ，从而R（A）= r 。 利用该结论可计算矩阵的秩，且所需计算的 r + 1 阶子式数从 个减少到这里的 个。 上页 下页 返回 Ex1. 求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式。 上页 返回 解 先求A 的秩，对A 作初等行变换化为行阶梯形： 故R（A）= 3 。 返回 *