《矩阵的秩》.ppt

* §4.4 矩阵的秩 矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为 A的列秩 问题：A的行秩 A的列秩 引理4.4.1 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 证：首先证明初等行变换不改变矩阵的行秩与列秩，设 则A与B的行向量组等价，因而它们有相同的行秩，并且 其列组有相同的线性关系，所以其有相同的列秩。 再证明初等列变换不改变矩阵的行秩和列秩。设 从而 因此列变换不改变矩阵的列秩和行秩。 由于 (行最简形矩阵)，A与U具有相同的行秩和列秩。 设 记U的列向量为 则 组，且其个数为U的非零行的行数,U的列秩=U的非零行的行数. 是U的一个极大无关 再记U的行向量为 则 只有零解， 线性无关；又因为 ，所以 是 的极大线性无关组，即U的行秩=U的非零行的行数. 由此得到下面的结论 引理4.4.3 任一矩阵的行秩与列秩相等，其值等于其阶梯形 矩阵或者行最简形矩阵的非零行的行数。 定义4.4.1 称矩阵A的行秩(或列秩)为矩阵A的秩，记为 rank(A)或者r(A)，规定零矩阵的秩为0。 定理4.4.1 初等变换不改变矩阵的秩。矩阵的秩等于它对应 的阶梯形矩阵或者行最简形矩阵的非零行的行数。 推论4.4.1 设P,Q都是可逆矩阵，则 引理4.4.2 行最简形矩阵的行秩与列秩相等，其值等于其 非零行的行数。 例4.4.1 设矩阵 且 ,求t. 解： 由于 必须 即 显然矩阵的秩有下面的性质 定理4.4.2 设A是n阶方阵，则A可逆的充要条件是r(A)=n. 定义4.4.2 设A是n阶方阵，如果r(A)=n，称A为满秩矩阵. 可逆矩阵=满秩方阵 定理4.4.3 证明: 记 则C的列向量被A的列向量线性表示, C的行向量被B的行向量线性表示。 故 由推论4.3.5，则 例4.4.2 设 若 ,证明 证： 例4.4.3 证明 (1) (2) 推论4.4.2 线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩 满足 例4.4.4 设向量组 线性无关，向量组 线性表示为 记矩阵 证明： 线性无关的充要条件是 证:记 即 由于 则 故 线性无关 只有零解 只有零解