第3章 雅可比矩阵和动力学分析.ppt

上一章讨论了刚体的位姿描述、齐次变换，机器人各连杆间的位移关系，建立了机器人的运动学方程，研究了运动学逆解，建立了操作空间与关节空间的映射关系。 本章将在位移分析的基础上，进行速度分析，研究操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射关系——雅可比矩阵(简称雅可比)。 雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空间之间的速度线性映射关系，同时也用来表示两空间之间力的传递关系。 可写成：Y＝F(X) 将其微分，得： 也可简写成： 反之，假如给定工业机器人手部速度，可解出相应的关节速度，即： 三、雅可比矩阵的奇异性 由此可见，当雅可比矩阵的行列式为0时，要使手爪运动，关节速度将趋于无穷大。 当雅可比不是满秩矩阵时，J的行列式为0。 对空间机器人，J的行数为6。二维平面机器人，J的行数为3，列数则为机械手含有的关节数目。 平面运动机器人手的广义位置向量[x,y,φ]T容易确定，且方位φ与角运动的形成顺序无关，可直接采用微分法求J 。 对于空间机器人,根据机器人运动学方程，可以获得直角坐标位置向量 [x,y,z]T 的显式方程，但找不到方位向量 的一般表达式。 空间机器人雅可比矩阵J确定：不能用直接微分法，采用构造法。 四、雅可比矩阵的构造法 机器人关节速度向量定义为： 手爪在基系中的广义速度向量为： 矢量积法构造雅可比矩阵 对于移动关节i: 定义： 机器人末端力矢量：力f和力矩n，记做： 在静止状态下，F 应与各关节的驱动力或力矩平衡。 关节力矢量：n个关节的驱动力矩组成n 维矢量： 利用虚功原理证明。 设各个关节的虚位移为?qi，手部的虚位移为?X。 d＝[dx dy dz] T， ?＝[??x ??y ??z]T 机器人关节虚位移矢量（关节空间）： ?q＝[?q1，?q2…?qn] T 解： 由前面推导知，该机械手的速度雅可比为： 根据?＝JTF，得： 3.3 机器人动力学分析 机器人动力学研究各杆件的运动和作用力之间的关系，是机器人设计、运动仿真和动态实时控制的基础。 机器人动力学问题有两类： 动力学正问题——已知关节的驱动力矩，求机器人系统相应的运动参数（包括关节位移、速度和加速度）。 动力学逆问题——已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节力矩。 机器人是由多个连杆和多个关节组成的复杂的动力学系统，具有多个输入和多个输出，存在着严重的非线性和耦合关系。 采用方法： 拉格朗日(Lagrange)方法 牛顿—欧拉方法(Newton-Euler)方法 高斯(Gauss)方法 凯恩(Kane)方法等。 拉格朗日方法以简单的形式求得系统动力学方程，而且具有显式结构，物理意义比较明确，对理解机器人动力学比较方便。因此，本节只介绍拉格朗日方法，并结合简单实例进行分析。 机器人动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。因此，简化求解的过程，最大限度地减少机器人动力学在线计算的时间是持续研究的课题。 一、拉格朗日方程 1. 拉格朗日函数 定义：机械系统的动能Ek和势能Eq之差，即： L＝Ek - Eq 令 qi 广义关节变量， 是广义关节速度。 系统动能Ek是 qi 和 的函数，系统势能Eq是qi的函数，因此L是 qi 和 的函数。 2. 拉格朗日方程 关节i的广义驱动力为： 1.关节变量及关节力矩 选取图示笛卡尔坐标系。 关节变量：?1和?2 关节力矩：?1和?2。 连杆1和连杆2杆长为ll和l2，质量分别是ml和m2 质心分别在kl和k2处，离关节中心的距离分别为pl和p2。 三、 机械手动力学方程 机械手的动力学方程建立的一般步骤： 1。计算任一连杆上任意一点的速度； 2。计算各连杆的动能和机械手的总动能； 3。计算各连杆的位能和机械手的总位能； 4。建立机械手系统的拉格郎日函数； 5。对拉格郎日函数求导，得到动力学方程。 系统的动力学方程为 拉格朗日方程 i＝1，2 计算各关节上的力矩，得到系统动力学方程。 5.系统动力学方程 6.计算关节1上的力矩?1： 注意：这里只求显因变量的偏导数 简写为： 其中： 7.计算关节2上的力矩?2： 简写为： 其中： 力矩 惯性力 向心力 哥氏力 重力 上式表示了关节驱动力矩与关节位移、速度、加速度之间的关系，即力和运动之间的关系，称为二自由度工业机器人的动力学方程。 有效惯量：D11、D22 D11、D22：关节1和关节2加速度引起的惯性力矩； 耦合惯量：D12、 D21