理论力学第9章 分析动力学基础.ppt

* * 由式(a)和式(b)消去 ，得 (c) 其中 由式(c)解得 由 时， ，得 故 (d) * * 将式(d)代入式(c)，再将式(c)和(d)代入式(b)得 率为 。 顺便指出，由式(c)和(d)可知，物B相对于物A作在常力作用下的简谐振动，其振幅为 ，固有频 * * 思考：本题中， a)如何求A，B两物块所受光滑面的约束力? b)若初瞬时弹簧有一初始伸长 结果有何变化? c)试用质心运动定理和动能定理求解本例，并比 较各种方法特点。 * * §9.3 拉格朗日方程的初积分 拉氏方程是关于广义坐标的二阶非线性常微分方程,寻求其解析解通常是十分困难的。但对于保守系统，在某些条件下，可经首次积分降为一阶，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。且具有明显的物理意义。 循环坐标－如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qr , 则该坐标称为系统的循环坐标。 一、广义动量积分 保守系统拉格朗日方程的初积分包括：广义动量积分、广义能量积分。 * * 于是拉氏方程成为 称为循环积分 称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。 * * 二. 广义能量积分 广义能量积分 保守系统的拉格朗日函数不显含时间t 时，保守系统的广义能量守恒。 当系统约束为定常时，系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒。 * * 一个系统循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分；但能量积分只可能有一个。 循环积分和能量积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。 * * 例１ 质量为m半径为r的圆环在圆心A上铰接一长度为l 质量亦为m的单摆B如图示。试就以下两种情况讨论其拉格朗日方程的初积分：（1）圆环作纯滑动；（2）圆环作纯滚动。 答： (1) 圆环作纯滑动 A x O φ (2) 圆环作纯滚动 * * 例２ 均质轮与均质杆质量均为m，轮半径为r， 杆长 l。若杆由水平静止释放，轮纯滚。 求 时 及 。 选x和θ为广义坐标。 * * 故有循环积分， 常数(初始为0) 又 约束定常、完整、理想、且系统保守。 即 (b) x方向广义动量守恒，并非系统x方向动量守恒。 故 常数 * * 时，(a)，(b)两式为 解之得 1. 若接触平面光滑(f=0)，结果如何? 2. 若左边连接一水平弹簧(k)，结果又如何? 3.能否用动力学普遍定理求解? * * 例3 如图所示，质量为m，半径为r的匀质轮在 质量为 、半径为R的薄壁筒内无滑动地滚动，设OC 与重力方向夹角为 ，起始 时系统静止。试求 运动中圆筒转角 与 的关系。 * * 系统保守且约束完整、定常，自由度为2， 取 与 为广义坐标。设圆轮角速度为 ，由 ，有 。 因L不含 ( 为循环坐标)， 故相应的广义动量守恒， 并考虑到 时， 设O为零势能位置，系统动势为 * * 注：此处利用拉氏方程的循环 积分，使问题求解大为简化。 即 对t积分，并注意到 时， ， 得 故 * * 解出 和 ，再积分， 可得 和 的变化规律。 该系统机械能守恒，故有T+V=常数，即 将此式与例３中(a)式联立， 思考：如何求上述 和 的变化规律。 * * 第9章 分析动力学基础 * * 动力学普遍方程 拉格朗日方程 拉格朗日方程的首次积分 * * 运用矢量力学分析非自由质点系，必然会遇到约束力多，方程数目多，求解烦琐，能否建立不含未知约束力的动力学方程？ 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为第二类拉氏方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。 * * 一. 方程的一般形式 动力学普遍方程或 达朗贝尔－拉格朗日原理 理想约束，不论约束完整，定常与否均适用 §9-1 动力学普遍方程 2.直角坐标形式： 1.矢量形式： * * 3.广义坐标形式 设完整约束系统有K个自由度，可取 广义坐标. 广义主动力 广义惯性力 注意: