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* (5)求出射角 [S] -3 -2 -1 0 (6)求根轨迹与虚轴交点 * [S] -3 -2 -1 0 [S] -5 5 5 -5 例4.2.8 绘制系统的根轨迹。已知开环传递函数 解:(1)确定开环零极点 零点： z1=-5 极点： p1=0， p2=4.8 (2)根轨迹起止点和分支数： 2 (3)实轴上的根轨迹 (4)渐近线： 无 (5)分离点 解得 (6)与虚轴交点 得根轨迹与虚轴交点 * 4.3 广义根轨迹 4.3.1参变量根轨迹 系统中除开环增益外的其他参数发生变化时闭环极点移动的轨迹，称为参变量根轨迹。 利用等效传递函数的概念，利用常规根轨迹绘制法则来绘制参变量根轨迹。 设系统的开环传递函数为G(s)H(s)，则闭环特征方程为 变形为： P(s)和Q(s) 为不含有变化参数A的特征多项式 用新的开环传递函数 绘制根轨迹即可 * 例4.3.1 某单位反馈系统的开环传递函数 绘制K*=0.25，参数a由零变化到无穷时系统的根轨迹。 解：系统闭环特征方程为 变形为 新开环传递函数 (1)确定开环零极点 * 零点： 无 极点： p1=0， p2,3=-0.5 [S] (2)根轨迹起止点和分支数： 3 (3)实轴上的根轨迹 (4)渐近线： (5)分离点 (6)与虚轴交点 * 例4.3.2 某单位反馈系统的开环传递函数 绘制参数a由零变化到无穷时系统的根轨迹。 解：系统闭环特征方程为 变形为 新开环传递函数 (1)确定开环零极点 零点： z1=-4 极点： p1,2=-2±4j [s] (2)根轨迹起止点和分支数： 2 (3)实轴上的根轨迹 (4)渐近线： 无 (5)分离点 (6)出射角 * 4.4 利用根轨迹分析系统性能 由根轨迹求解闭环零点、闭环极点 所以：闭环零点=前向通道的零点 闭环极点----根轨迹上的点 +反馈通道的极点 * 4.4.1闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系 控制系统闭环的零极点分布要保证它的输出量尽可能的复现给定输入量，动态过程的快速性、平稳性要好一些。 * 中每一分量 衰减得快，即 应远离虚轴 1. 为保证系统稳定，闭环极点必须在左半[S]平面。 2. 为保证快速性好，应使阶跃响应 若为共轭复极点，实部决定衰减快慢，虚部决定阻尼振荡频率 * 3、平稳性好，复极点设在与负实轴成 线上，最佳阻尼比 。 4、远离虚轴的闭环极点对瞬态响应影响很小。若某一极点比其它极点远离虚轴4-6倍时，则它对瞬态响应的影响可忽略。 5、要求动态过程尽快消失，则闭环极点间的间距要大，使零点靠近极点(构成偶极子)。 * 4.4.2利用根轨迹分析系统性能 1.稳定性 2.动态特性—单位阶跃响应是否存在超调量 3.准确性—稳态误差的估计 4.系统固有频率—临界稳定的振荡频率 * [S] -2 -1 0 例 某单位反馈系统的开环传递函数 利用根轨迹分析系统的性能。 1.稳定性 0K*6时系统稳定 K*=6， K*=0时系统临界稳定 6K*时，系统不稳定 K* =2K 2.动态特性 3.稳态特性—稳态误差 Ⅰ型系统 4.系统的固有频率 1.414 * 例 画根轨迹并分析K*对系统动态过程的影响 - [S] -4 -2 0 该两点距-4均为2.82, 根轨迹为以-4为圆心，2.82为半径的圆。 × * [S] -4 -2 0 * [S] -4 -2 0 系统快速性、平稳性均较好 控制系统的根轨迹分析 * 第4章 根轨迹法 反馈控制系统的基本性能，主要由系统 的闭环极点（即特征方程的根）的分布所决定 开环传递函数 → 闭环特征根 --图解法 1948年 伊凡思提出 可以弥补高阶系统求闭环极点困难的缺陷 * 学习要点 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹绘制法则 广义根轨迹 根轨迹法分析控制系统的性能 * 4.1 根轨迹的基本概念 当系统某个参数（开环增益K）由零到无穷大变化时， 闭环特征根(极点)在S平面上移动的轨迹。 4.1.1根轨迹 常规根轨迹：变化的参数为开环增益K 广义根轨迹（参量根轨迹）：变化的参数为其它参数 * 4.1.2 根轨迹方程 根轨迹方程 * * 4.2 绘制根轨迹的基本法则 一、根轨迹的分支数 n个特征根随K变化会出现n条根轨迹 根轨迹在[S]平面上的分支数=